Пример 2.5.

Р

Рисунок 2.10 - К расчету магнитного потокосцепления внутри жилы

ассчитать индуктивность одножильного кабеля (рисунок 2.13) полагая, что внутренний провод является прямым, а наружный – обратным. Магнитным потоком в обратном проводе пренебречь ввиду малой толщины этого провода. Геометрические размеры и величину магнитной проницаемости материалов считать заданными в общем виде, где: l_k – длина кабеля; r₁ – радиус жилы; r₂ – внутренний радиус оболочки.

Решение.

Расчет магнитного поля для заданного примера выполняем с учетом осевой симметрии поля по диапазонам значения r (см. пример 2.1).

При значениях 0 ≤ r ≤ r₁ выбираем силовую магнитную линию. Так как все точки этой окружности равноудалены от источника поля, величина напряженности магнитного поля постоянна и в соответствии с законом полного тока:

,

,

где r – расстояние от оси кабеля до точки, в которой определяется Н;

S – площадь круга с радиусом r.

Эта формула верна при постоянном токе I. Рассчитаем магнитное потокосцепление внутри внутреннего провода (жилы) через площадку 0mnp, где l – длина кабеля. Магнитное потокосцепление через заштрихованную площадку dS:

,

а через всю площадь 0mnp:

.

Магнитное поле обратного провода не учитывается в соответствии с законом полного тока.

Расчет магнитного потокосцепления в слое изоляции r₁ < r < r₂, т.е. через площадку pnkc (рисунок 2.11).

Напряженность магнитного поля в слое изоляции Н_н в соответствии с законом полного тока определяется как в примере 2.1:

.

Магнитное потокосцепление в слое изоляции:

.

Индуктивность кабеля:

.

2.2.3 Идеальный конденсатор

В параграфе 1.1.1 уже рассматривалось понятие емкости одного заряженного тела. В данном параграфе рассмотрим емкость двух проводящих заряженных тел разделенных диэлектриком.

Электрическая емкость вообще характеризует свойство проводящих тел заряжаться под влиянием электрического поля, а также накапливать в поле этих тел электрическую энергию.

Конструктивно конденсаторы представляют собой две пластины, называемые обкладками (рисунок 2.12). Обкладки разделены диэлектриком. Их заряжают, присоединив к разноименным зажимам одного источника. Тогда заряды этих тел будут равны по величине и противоположны по знаку (q₁ = –q₂, причем |q₁| = |–q₂| = |q|). Образование зарядов на двух телах в этом случае можно рассматривать как перенос электронов с тела, заряжаемого положительно, на тело, заряжаемое отрицательно. Заряд каждого тела будет пропорционален разности потенциалов :

. (2.9)

Тогда:

, (2.10)

следовательно, емкость численно равна отношению заряда одного из тел к разности потенциалов между ними. Емкость системы в этом случае, как и в случае уединенного проводника, зависит от формы, размеров, поверхности тел, их взаимного расположения, а также от диэлектрической проницаемости среды _. При постоянном значении всех перечисленных величин, от которых зависит потенциал тел, величина С также постоянна. В общем случае, когда все эти величины под влиянием каких-либо причин изменяются, емкость не остается постоянной.

Идеальным конденсатором будем называть устройство, состоящее из двух проводящих пластин, разделенных диэлектриком, для которого учитывают только емкость С (способность накапливать заряды) и энергию в электрическом поле.

Свойством проводимости тока диэлектриком (электронной, ионной и т.д.) с преобразованием электрической энергии в тепловую пренебрегают, как и наличием коэффициента самоиндукции и взаимной индукции. Другими словами: R = 0, L = 0, M = 0.

Величина тока в идеальном конденсаторе обусловлена исключительно величиной плотности тока электрического смещения , где – вектор электрического смещения. Если охватить одну из обкладок замкнутой поверхностью в виде параллелепипеда (рисунок 2.12), то в соответствии с первым законом Кирхгофа:

Рисунок 2.12 – Плоский конденсатор

, (2.11)

где – плотность тока проводимости.

Следовательно: .

Когда по проводнику, пересекающему поверхность LFMP направлен к обкладке ток проводимости i_пр, в диэлектрике образуется ток смещения, проходящий сквозь поверхность OKNQ изнутри наружу в точности равный току i_пр в проводнике. Линии тока смещения в диэлектрике являются продолжением линий тока в проводнике. Таким образом, цепь электрического тока является замкнутой.

Величина тока i_пр численно равна количеству электрических зарядов, пересекающих сечение проводника в единицу времени. Очевидно, на токае же количество зарядов в единицу времени должен измениться заряд q пластины:

, (2.12)

где – скорость изменения заряда q.

Если напряжение источника энергии изменяется по синусоидальному закону , то:

(2.13)

Амплитуда синусоидального тока:

, (2.14)

где – сопротивление конденсатора синусоидальному току.

Соотношение (2.14) называют законом Ома для амплитудных значений тока и напряжения на конденсаторе.

В соответствии с формулами (2.12) и (2.14) можно сказать, что величина сопротивления идеального конденсатора току обратно пропорциональна произведению величины емкости и скорости изменения напряжения на конденсаторе.

Для постоянного напряжения и тока идеальный конденсатор оказывает бесконечное сопротивление.

Таким образом, физическая природа сопротивления идеальных пассивных элементов (резистора, катушки индуктивности и конденсатора) существенно различна.