Пример 2.2.

Рассчитать внешнюю индуктивность единицы длины двухпроводной воздушной линии с током I = I₁ = I₂, если l >> d >> R₀ (рисунок 2.6).

Решение.

В этом случае воспользуемся принципом наложения для линейных сред и рассчитаем магнитное поле линии как результат векторного суммирования магнитных полей, созданных каждым проводом в отдельности. Тогда в некоторой точке r₁ на оси 0r₁ индукция результирующего магнитного поля :

.

З

Рисунок 2.6 – Двухпроводная линия

десь – индукция магнитного поля, созданного первым током I₁, а - индукция магнитного поля, созданного током I₂ второго провода. Величины векторов и :

, .

Направления векторов и совпадают, что позволяет перейти к алгебраическому суммированию векторов:

.

Рассчитаем поток вектора магнитной индукции через площадь прямоугольника abcd (рисунок 2.6):

.

Индуктивность единицы длины линии L₀:

.

Если d = 10⁶R₀, то . Т.е. индуктивность двухпроводной линии будет в два раза больше, чем одного провода. При уменьшении величины d внешняя индуктивность двухпроводной линии уменьшается до нуля.

Пример 2.3.

Задана двухпроводная воздушная линия постоянного тока I₁= I₂ = I, в магнитном поле которой расположена катушка индуктивности (рисунок 2.7 а) прямоугольной формы со сторонами a и b и числом витков ω. Считая длину

Рисунок 2.7 – К примеру 2.3.

линии намного больше расстояния d между проводами, рассчитать коэффициент взаимной индукции М между линией и катушкой, если катушка расположена в параллельной плоскости проводов на расстоянии А.

Решение.

Воспользуемся принципом наложения для расчета магнитного потока, созданного двухпроводной линией и сцепленного с одним витком катушки.

.

Для расчета магнитного потокосцепления, созданного первым проводом с одним витком катушки, воспользуемся сечением на рисунке 2.7 б и результатом расчета вектора магнитной напряженности одного провода с током (пример 2.1):

,

где S – площадь одного витка катушки; I₁ – ток первого провода; R₁ – расстояние от оси первого провода до произвольной точки К на поверхности витка (изменяется от R_1n до R_1m); α₁ – угол между вектором и единичным вектором .

В процессе интегрирования угол α₁ изменяется от 90º в точке n до величины α_1m в точке m.

На рисунке 2.7 б из точки n восстановлена ось a, совпадающая по направлению с шириной рамки a. Вектора напряженности магнитного поля и индукции магнитного поля построены по направлению, совпадающему с направлением касательной к окружности (силовой линии) в точках поверхности S витка.

Учитывая осевую симметрию поля dS₁ = b·(da) (во всех точках площадки dS₁ величина индукции В₁ одинакова), перейдем к одной переменной интегрирования R₁, так как (da)cosα₁ = dR₁, получим:

Расчет магнитного потокосцепления Ф₂ выполняем аналогично по рисунку 2.8. На рисунке 2.8. построены вектора магнитной индукции , напряженности магнитного поля от второго проводника с учетом обратного направления тока I₂ (к нам):

,

где S – площадь одного витка катушки; I₁ – ток второго провода; R₂ – расстояние от оси второго провода до произвольной точки К на поверхности витка (изменяется от R_2n до R_2m); α₂ – угол между вектором и единичным вектором .

С учетом осевой симметрии поля dS₂ = b(da), перейдем к одной переменной интернирования R₂, так как (da)cosα₂ = dR₂, получим:

.

Магнитное потокосцепление всех витков ω:

.

Коэффициент магнитной индукции М определяем из соотношения:

.

Полученная формула универсальна. Для любого нового расположения катушки при соблюдении параллельности сторон b катушки результат вычисления в общем виде аналогичен.

Для данного примера: ; ; ; .

Пример 2.4.

Рассчитать энергию, запасенную в магнитном поле катушки с кольцевым сердечником, предполагая это поле равномерным (рисунок 2.9), и коэффициент самоиндукции L. Все величины заданы на рисунке в общем виде, как и I, μ_r.

Решение.

Воспользуемся формулой (1.42) для расчета энергии магнитного поля: .

В соответствии с законом полного тока:

.

Учитывая равномерность поля в катушке:

,

ч

Рисунок 2.9 – Катушка с кольцевым сердечником

то позволяет рассчитать напряженность магнитного поля:

.

Следовательно:

,

где .

Индуктивность катушки можно определить для внешнего магнитного поля, воспользовавшись общим определением:

.

Подставив в последнюю формулу выражение , получим:

.