2.2 Пассивные идеальные элементы

2.2.1 Идеальный резистор

Идеальному резистору приписывается одно физическое свойство –оказание сопротивления R постоянному току I с преобразованием электрической энергии в тепловую.

В соответствии с законом Ома:

, (2.1)

где U – падение напряжения на идеальном резисторе.

На рисунке 2.1 представлено изображение идеального резистора. Направление стрелки тока выбрано произвольно, но направление стрелки падения напряжения выбирают всегда совпадающим со стрелкой тока и часто ее не ставят на схеме.

Ф

Рисунок 2.1 – Идеальный резистор

изическая природа сопротивления металлов току обусловлена наличием свободных электронов, которые могут легко перемещаться между ионами, находящимися в узлах кристаллической решетки и совершающих колебательное движение. Пока в проводнике отсутствует электрическое поле, электроны беспорядочно движутся во всевозможных направлениях. При возникновении поля электроны начинают медленно перемещаться по направлению, противоположному направлению силовых линий поля. Скорость хаотического перемещения электронов проводимости при комнатных температурах (10⁵ ÷ 10⁶) м/с, а скорость направленного движения электронов (1 ÷ 6) мм/с. Это медленное перемещение (дрейф) практически не влияет на тепловое движение электронов проводимости. Не следует смешивать скорость дрейфа электронов со скоростью распространения электромагнитной волны тока. Опыт и теория показывают, что ее величина может достигать скорости света. Энергию от источника к потребителю передает электромагнитное поле, проводник же с дрейфующими электронами служит лишь «направляющей» для потока энергии.

Удельное сопротивление металла в соответствии с электронной теорией, определяется выражением:

, (2.2)

где т – масса электрона; – тепловая скорость электрона; е – электрический заряд электрона; п – концентрация свободных электронов; – средняя длина свободного пробега электрона между двумя столкновениями.

В соответствии с дифференциальной формой закона Ома:

, (2.3)

где – удельная проводимость; Е – напряженность электрического поля;

ρ – удельное сопротивление.

Т.е. сопротивление току в проводниках зависит от взаимодействия (столкновения) свободных электронов с ионами кристаллической решетки, характеристиками электронов и их концентрацией.

2.2.2 Идеальная катушка индуктивности

В пункте 1.3.2 дана количественная мера идеальной катушки индуктивности: это индуктивность L, определяемая как отношение магнитного потокосцепления катушки к величине тока i в ней. Т.е. идеальной катушке индуктивности приписывают только одно физическое свойство: наличие магнитного потокосцепления, созданного током i в этой катушке или коэффициента L самоиндукции, величина которого пропорциональна абсолютной магнитной проницаемости μ_г, квадрату числа витков и площади S витков (1.32); преобразования электрической энергии в тепловую энергию не происходит, а происходит только запасание энергии магнитного поля.

Н а рисунке 2.2 представлено условное обозначение идеальной катушки индуктивности и проставлены условно положительные направления тока i, напряжения u и ЭДС самоиндукции е_L.

С

Рисунок 2.2 – Идеальная катушка индуктивности

вязь между током и напряжением в индуктивном элементе устанавливается на основе закона электромагнитной индукции, т.е. выразим потенциал точки 1 через потенциал точки 2 и ЭДС:

. (2.4)

Следовательно:

. (2.5)

При постоянном токе в катушке индуктивности ток не изменяется, значение производной равно нулю, следовательно, и₁₂ = 0, что указывает на отсутствие работы при перемещении единичного положительного заряда от точки 1 до точки 2, выполняемой источником энергии электрической цепи. Т.е. катушка индуктивности сопротивления постоянному току не оказывает, что равносильно короткому замыканию выводов.

Физическая природа силы сопротивления электрическому току катушки индуктивности связана c величиной скорости изменения во времени магнитного потокосцепления или при μ = const (линейной катушки) с величиной .

Мгновенная мощность идеальной катушки индуктивности:

. (2.6)

При совпадении знаков u и i происходит запасание энергии и мощность положительна. При отрицательной мощности элемент отдает энергию. Если μ_г = const, то L = const, такая идеальная катушка индуктивности называется линейной. При μ_г, зависящей от величины напряженности магнитного поля Н, т.е. μ_г(Н), наша величина L зависит от величины Н или i, т.е. L(Н) и такую катушку индуктивности называют нелинейной.

Для случая линейной идеальной катушки индуктивности энергия магнитного поля определяется выражением:

. (2.7)

Если i(0) = 0, то:

. (2.8)

Э

Рисунок 2.3 – Провод с электрическим током

нергия не может принимать отрицательных значений.

Пример 2.1.

Определить внешнюю индуктивность провода длиной l (рисунок 2.3), при условии, что l >> R₀, а среда – воздух. Магнитное потокосцепление, созданное током провода, учитывать через площадку abd с с размером bc=ad=10⁶ R₀. Вычислить внешнюю индуктивность единицы длины провода.

Решение.

Магнитное поле провода длиной l >> R₀ обладает осевой симметрией, т.е. все точки цилиндрической поверхности, ось которой совпадает с осью провода, равноудалены от источника поля и величина вектора напряженности магнитного поля одинакова, а направление вектора напряженности магнитного поля определим разбив весь провод на симметричные пары элементов и с током провода I. Определяем приращение индукции магнитного поля от элементов и по закону Био – Савара – Лапласа (1.28):

.

Т

Рисунок 2.4 – К определению направления

вектора

ак как 0к выбираем равным 0d, а катет 0р общий, то учитывая, что отрезок 0р перпендикулярен проводу с током I, к0р = 90º = р0d, т.е. и величина . Направления векторов и находим по правилу раскрытия векторного произведения. Т.е. направления векторов и совпадают. Аналогичные направления будут от приращения dB всех пар с током I. Поскольку вектора и направлены перпендикулярно к плоскости, в которой лежит треугольник 0кр, то вектор магнитной индукции и вектор напряженности от всего провода будут всегда перпендикулярны к радиусу r окружности с центром в точке 0. в соответствии с законом полного тока (1.25)

,

учитывая, что Н = cоnst для всех точек окружности и α = 0,

,

Рисунок 2.5 – Разрез провода А – А

.

Рассчитаем магнитное потокосцепление провода. Введем ось переменной r с началом в центре провода (рисунок 2.5).

На рисунке 2.5 представлен разрез провода А – А и вектор индукции магнитного поля . Магнитное потокосцепление провода вычислим через площадку аbcd (рисунок 2.3), учитывая симметричный характер магнитного поля. Вектор магинтной индукции В = cоnst для всех точек площадки dS (рисунок 2.3):

Внешняя индуктивность провода L:

.

Индуктивность единицы длины провода L₀:

Г/м.