2.5. Решение уравнения движения гибкого стержня
Следуя [1] общее решение линейного обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения (2.17) представим в виде суммы
,
(2.20)
где yH – частное решение неоднородного уравнения (2.17); y0 – общее решение однородного уравнения
(2.21)
Введем в рассмотрение функции А.Н. Крылова
(2.22)
Функции А.Н.Крылова линейно независимы и являются решениями однородного уравнения (2.21), так как при подстановке их в это уравнение оно обращается в тождество. Следовательно,
, (2.23)
где А, В, С, D – произвольные не зависящие от z величины (постоянные интегрирования).
Частное решение неоднородного уравнения (2.17), согласно виду правой части, будем искать в форме
(2.24)
Здесь Е и М – подлежащие определению коэффициенты.
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Подставим(2.24) в (2.17)
и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, найдем
(2.25)
Подставляя (2.23) и (2.24) с учетом (2.25) в (2.20), запишем общее решение неоднородного уравнения (2.17) в виде
(2.26)
Продифференцируем (2.27) по z один раз
(2.27)
Постоянные интегрирования А, В, С, D определяем согласно (2.26) и (2.27) из граничных условий (2.18)
(2.28)
y(0,)=kB+1()=0 B= –1()/k (2.29)
(2.30)
Решая систему алгебраических линейных неоднородных уравнений (2.30) по формулам Крамера, получим
(2.31)
Вводя (2.26) в (2.19), определим
(2.32)
Подставляя (2.28), (2.29), (2.31) в (2.32) и учитывая тождество
,
,
получим изображение реакций гибкого стержня:
(2.33)
где
(2.34)
Введем (2.33) в (2.16)
(2.35)
Здесь обозначено:
(2.36)
Из (2.35) следует:
(2.37)
Выражения (2.34) -
(2.37) – математическая модель манипулятора
с динамической моделью стержня, где
весь бесконечный спектр собственных
частот и форм колебаний стержня
учитывается через переменные коэффициенты
(
),
которые являются функциями комплексной
переменной
.
2.6. Передаточная функция замкнутой системы регулирования манипулятора
Согласно (2.37)
т.е. Ф(λ) есть отношение выходной величины
манипулятора к входной величине и в
теории автоматического управления [15]
называется передаточной функцией
замкнутой системы регулирования
манипулятора. Элементы
,
формирующие Q(λ) и D(λ), являются сложными
функциями от
и согласно (2.36) содержат не только
с целыми степенями, но и трансцендентные
функции ij
(i,j
=1,2,3) от
Следовательно, Q() и D() представляются в форме квазимногочленов с переменными коэффициентами [1]
,
(2.38)
а передаточная
функция манипулятора
является квазирациональной дробью.
Степени m
и n
квазимногочленов определяются ОДУ в
изображениях (2.16), а зависимость переменных
коэффициентов от
в квазимногочленах определяется УЧП в
изображениях (2.17), а также ГУ (2.18) и УС
(2.19) в изображениях.
Далее передаточную функцию Ф(λ) будем представлять в форме квазирациональной дроби
(2.39)