Список используемых источников………………………………...80 введение
Важнейшей проблемой создания современных технических систем и выбора режимов их эксплуатации является проблема построения и анализа динамических моделей этих систем.
Многие технические системы состоят из дискретных элементов с сосредоточенными по пространству параметрами (абсолютно жесткие тела, датчики первичной информации, двигатели, усилители) и элементы с распределенными по пространству параметрами (оболочки, упругие стержни, потоки жидкости и газа) динамически связанные через границы раздела и в этом смысле являются распределенными или дискретно-континуальными (ДКС). Системы дифференциальных уравнений движения ДКС, содержащие обыкновенные дифференциальные уравнения и связанные с ними через граничные условия уравнения с частными производными, начальные условия и условия связи , для краткости называют комбинированными динамическими системами (КДС) [1].
На рисунке ниже приведена структурная схема комбинированной динамической системы (КДС).
Рис. 1.1
На структурной схеме ОДУ - система обыкновенных дифференциальных уравнений. УЧП - система уравнений с частными производными, граничными условиями (ГУ) при заданных условиях связи (УС) и начальных условиях (НУ). x(t) - сосредоточенное, а u(z,t) и v(z,t) –распределенные возмущения; y(t) – сосредоточенная и w(z,t) - распределенная реакции комбинированной динамической системы; z – вектор пространственных координат.
При управлении движением облегченных быстродействующих манипуляционных роботов, ракет, больших космических конструкций, необходимо изначально учитывать деформации их конструктивных элементов. Сложности, связанные с управлением ориентацией космических аппаратов (КА), не имеющих абсолютно жесткой конструкции, впервые проявились в начале 60-х годов, когда, после выведения на орбиту сравнительно небольшого американского спутника "Эксплоурер-Г, он очень быстро потерял устойчивость вследствие непредвиденного эффекта рассеяния энергии закрутки из-за, наличия упругости четырех штыревых антенн. С тех пор и до настоящего времени к этой сложной проблеме привлечено пристальное внимание многих ведущих специалистов (математиков, механиков, инженеров) почти всех стран мира [2].
Как правило в математических моделях деформируемых управляемых объектов уравнения с частными производными движения упругих элементов конструкций заменяются конечномерными аппроксимациями, построенными на матричных конечно-элементных моделях, либо на усеченных разложениях по собственным формам [3]. Разработанное на основе такой приближенной модели деформируемого объекта управляющее устройство может вызвать возбуждение неучтенных форм колебаний и дестабилизировать систему автоматического управления. Этот эффект наблюдаемый, например, в больших космических конструкциях, авторы работы [3] назвали излишним управлением. В работах [4], [5], [6] предложен оригинальный подход к формированию математических моделей комбинированных систем позволяющий учесть весь бесконечный спектр частот и форм колебаний континуальных элементов.
КДС моделируют динамические процессы в облегченных быстродействующих манипуляционных роботах, в больших космических конструкциях, в упругих ракетах, в поплавковых гироскопических приборах и акселерометрах и многих других технических системах.
Задачам управления твердыми телами с вязкоупругими стержнями посвящено большое количество работ [8] – [14]. В этих работах используются такие методы синтеза регуляторов для систем управления как методы параметрического синтеза использующие минимизацию некоторых функционалов. В [12] показано, что система уравнений, моделирующая движение космического аппарата в режиме стабилизации, распадается на три сравнительно независимых канала управления, каждый из которых может исследоваться самостоятельно. В работе [10] также рассматривается один из каналов стабилизации космического аппарата. В [8, 9, 10] математическая модель космического аппарата с упругими стержнями представлена в виде частотных характеристик и, поэтому, для синтеза регулятора можно использовать хорошо разработанные частотные методы и в частности метод логарифмических частотных характеристик [15]. Этот метод достаточно прост, знаком и используется многими инженерами в реальных проектах, позволяет наглядно судить об устойчивости и качестве регулирования систем автоматического управления. В сложных случаях взаимозависимых каналов управления метод позволяет определять начальные значения параметров регуляторов для запуска различных методов оптимизации процессов регулирования. В настоящей работе показана простота и эффективность использования метода логарифмических частотных характеристик для разработки регуляторов манипулятора с упругим стержнем.
Суть метода логарифмических частотных характеристик заключается в следующем [15]. Логарифмические частотные характеристики ( л. ч. х.) включают в себя построенные отдельно на одной плоскости логарифмическую амплитудную характеристику (л. а. х.) и логарифмическую фазовую характеристику (л. ф. х.). Для построения л. а. х. находится L(ω)=20lg|W(jω)|=20lg(A(ω)), где W(jω) – частотная характеристика разомкнутой системы управления. Эта величина выражается в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один Бел соответствует увеличению мощности в 10 раз, 2 Бела — в 100 раз, 3 Бела — в 1000 раз и т. д.
Децибел равен одной десятой части Бела. Если бы А(ω) было отношением мощностей, то перед логарифмом в правой части должен был бы стоять множитель 10. Так как А(ω) представляет собой отношение не мощностей, а выходной и входной величин (перемещений, скоростей, напряжений, токов, углов и т. п.), то увеличение этого отношения в десять раз будет соответствовать увеличению отношения мощностей в сто раз, что соответствует двум Белам или двадцати децибелам. Поэтому в правой части стоит множитель 20.
Необходимость логарифмировать модуль частотной передаточной функции приводит к тому, что, строго говоря, л. а. х. может быть построена только для тех звеньев, у которых передаточная функция представляет собой безразмерную величину. Это возможно при одинаковых размерностях входной и выходной величин звена. В дальнейшем изложении будет подразумеваться именно этот случай.
Однако л. а. х, может условно строиться и для тех звеньев, у которых передаточная функция имеет какую-либо размерность. В этом случае некоторая исходная величина, соответствующая размерности передаточной функции, принимается за единицу (например, 1 с-1, 1 рад и т. п.) и под значением А(ω) понимается отношение модуля частотной передаточной функции к этой исходной единице.
Это же замечание относится и к угловой частоте ω, которая имеет размерность [с-1] и которую приходится логарифмировать в соответствии с изложенным выше.
Для построения логарифмических аплитудных характеристик и логарифмических фазовых характеристик. используется специальная сетка (рис. 1.2).
Рис. 1.2
По оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, т. е. наносятся отметки, соответствующие lgω, а около отметок пишется само значение частоты ω в рад/с.
По оси ординат откладывается модуль в децибелах (дБ). Для этой цели на ней наносится равномерный масштаб. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дБ, что соответствует значению модуля А(ω) = 1, так как логарифм единицы равен нулю.
Ось ординат может пересекать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте. Следует учесть, что точка ω = 0 лежит на оси частот слева в бесконечности, так как lg 0 =-∞. Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход л. а. х. Для построения л. ф. х. используется та же ось абсцисс (ось частот). По оси ординат откладывается фаза в градусах в линейном масштабе (рис. 1.3).
Рис. 1.3
Первой операцией процесса синтеза является построение желаемой ЛАХ. Это построение выполняется на основе требований, которые предъявляются к проектируемой системе управления.
К системам управления обычно в идеале предъявляются следующие требования [15]:
устойчивость;
нулевая ошибка в установившемся режиме;
быстрый и плавный (в идеале – монотонный) переходный процесс;
подавление шумов;
робастность (нечувствительность к изменению параметров исходной модели системы).
Устойчивость и робастность обеспечивается определенным видом среднечастотного участка ЛАХ. Этот участок расположен слева и справа от частоты среза ωср разомкнутой системы управления. На этом участке ЛАХ на частоте среза ωср пересекает ось частот, ф.ч.х. на частоте среза желательно иметь от -150◦ до -140◦, наклон среднечастотного участка ЛАХ должен быть
-20 дб на декаду и на концах требуется обеспечить запасы по амплитуде не менее 12 дб. Низкочастотный и высокочастотный участки ЛАХ должны, по возможности, совпадать с ЛАХ исходной системы, управление которой осуществляется, что приводит к упрощению регулятора системы автоматического управления.
Нулевая ошибка в установившемся режиме обеспечивается введением в регулятор интегрирующего звена.
Скорость переходного процесса обеспечивается выбором частоты среза ωср разомкнутой системы управления. Чем больше частота среза, тем время переходного процесса меньше. Плавность переходного процесса зависит от вида среднечастотного участка ЛАХ.
Подавление шумов зависит от частоты среза разомкнутой системы управления. Чем меньше частота среза, тем сильнее происходит подавление шумов. Этот пункт противоречит пункту о скорости переходного процесса. В реальности проектировщик принимает компромиссное решение.
Вторым пунктом синтеза является построение ЛАХ исходной системы.
ЛАХ корректирующего устройства регулятора получается в результате вычитания из ЛАХ желаемой ЛАХ исходной системы.
Завершением процесса синтеза является построение переходного процесса.