Национальный Исследовательский Университет

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Институт автоматики и вычислительной техники

Кафедра прикладной математики

Лабораторная работа № 3

Умножение двух матриц методом статического разделения на полосы

Курс «Параллельные системы и параллельные вычисления»

Выполнил

студент 5 курса группы А-13-08

Захаров Антон

Преподаватель

Панков Николай Александрович

Постановка задачи

Пусть даны две прямоугольные матрицы и размерности и соответственно:

Требуется найти матрицу (произведением) размерности :

Для нахождения произведения матриц методом статического разделения на полосы необходимо составить последовательно-параллельную программу на языке C или C++, использующую принципы нитевого распараллеливания, а также исследовать характеристики разработанной программы в зависимости от числа потоков.

Тестирование проводились на компьютере со следующей конфигурацией:

ПРОЦЕССОР Intel Core i5 2500MHz Ivy Bridge

ОПЕРАТИВНАЯ ПАМЯТЬ 16Gb DDR3 1600MHz

ФИЗИЧЕСКИЙ НАКОПИТЕЛЬ OCZ-VERTEX3 (120Gb, SATA600, SSD)

ГРАФИЧЕСКИЙ ПРОЦЕССОР AMD Radeon HD 7700 (1Gb DDR5 4.6GHz)

ОПЕРАЦИОННАЯ СИСТЕМА Windows 7 Ultimate x64 (SP1)

Последовательный алгоритм решения Умножение матриц по определению

В соответствии с определением, произведение матриц состоит из всех возможных комбинаций скалярных произведений строк матрицы и столбцов матрицы . Элемент матрицы с индексами (i, j) есть скалярное произведение i-ой строки матрицы и j-го столбца матрицы .

1. for (i = 0; i < m; i++) {

2. for (j = 0; j < q; j++) {

3. C[i][j] = 0;

4. for (k = 0; k < n; k++)

5. C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];

6. }

7. }

На первый взгляд это минимальный объем работы, необходимый для перемножения двух матриц. Однако исследователям не удалось доказать минимальность, и в результате они обнаружили другие алгоритмы, умножающие матрицы более эффективно.

Алгоритм Штрассена

Первый алгоритм быстрого умножения матриц был разработан В. Штрассеном в 1969. В основе алгоритма лежит рекурсивное разбиение матриц на блоки. Недостатком данного метода является большая сложность программирования по сравнению со стандартным алгоритмом, численная неустойчивость и большой объём используемой памяти.

Разработано большое количество алгоритмов на основе метода Штрассена, которые улучшают его численную устойчивость и уменьшают объём используемой памяти.

Алгоритм Копперсмита-Винограда

В 1990 Копперсмит и Виноград опубликовали алгоритм, умножающий матрицы со сложностью . Этот алгоритм использует идеи, схожие с алгоритмом Штрассена. На сегодняшний день алгоритм Копперсмита-Винограда является наиболее асимптотически быстрым, но он эффективен только на очень больших матрицах и поэтому не применяется.

В 2003 Кох и др. рассмотрели в своих работах алгоритмы Штрассена и Копперсмита-Винограда в контексте теории групп. Они показали возможность существования алгоритмов умножения матриц со сложностью .

Параллельный алгоритм решения

В предлагаемой реализации метода статического разделения на полосы исходная матрица A разбивается на горизонтальные полосы. Все полосы матрицы распределяются между потоками, а обращение к элементам матрицы , расположенной в общей памяти, осуществляется по мере необходимости. При этом каждый из имеющихся потоков использует только одну полосу матрицы и всю матрицу . Перемножение полосы на матрицу (а данная операция может быть выполнена параллельно) приводит к получению частей (полос) результирующей матрицы , которые затем в совокупности и дадут искомую матрицу.

– полоса матрицы ;

– число потоков.