Кодирование внутренних состояний конечных автоматов.

Как отмечалось выше, минимальное число элементарных автоматов, которое требуется для проектирования схемы заданного конечного автомата с n состояниями, определяется как К= log₂n . При этом каждому внутреннему состоянию конечного автомата ставится в соответствие к-разрядное двоичное число. Поэтому количество различных вариантов кодирования равно числу сочетаний из 2^к элементов по n, т.е. С_2kⁿ.

Из сказанного ясно, что из всех возможных вариантов кодирования по выбранному критерию оптимальности. В качестве таких критериев чаще всего выступают минимальные аппаратные затраты на реализацию конечного автомата и надежность его функционирования. В последнее время в связи с ростом плотности упаковки полупроводных приборов в интегральных схемах, в качестве критерия оптимальности выбирается минимальное число одновременно переключающихся таких приборов. Это объясняется тем, что при переключении полупроводниковых приборов выделяется тепло, а большое число одновременно переключающихся приборов может привести к нарушению работоспособности всей системы.

Выбор того или иного способа кодирования внутренних состояний конечного автомата не изменяет закона его функционирования, но существенно влияет на сложность функций возбуждения элементарных автоматов и функционирования всего автомата.

Общего подхода к решению задачи кодирования внутренних состояний конечного автомата нет. Перебор всех возможных вариантов кодирования и выбор среди них малопригоден, т.к. число возможных вариантов кодирования растет очень быстро взависимости от числа внутренних состояний проектируемого автомата.

Из определения конечного автомата известно, что внутреннее состояние автомата S(t+1) в момент времени (t+1) зависит от внутреннего состояния S(t) и входного слова X(t) в момент времени t. S(t+1)=F_S[S(t),X(t)]

Если известно кодирование внутренних состояний автомата а₁,а₂,…,а_e, у которого подмножество переменных а₁,а₂,…,a_p (1≤p≤l) может быть определено независимо от (l-p) оставшихся двоичных переменных, то как правило, получают более простую схемную реализацию заданного автомата.

Поскольку кодирование внутренних состояний является задачей, относящейся к внутренней части автомата, то таблицу выходов рассматривать не будем.

Пример. Рассмотрим автомат, заданный таблицей переходов (табл 3.28)

Табл. 3.28

X	S
	S1	S2	S3	S4	S5	S6
0	S3	S3	S2	S5	S6	S5
1	S6	S4	S5	S2	S3	S1

Заданный автомат имеет шесть состояний. Для каждого двоичного кодирования шести состояний потребуется log₂6 =3 двоичных переменных а₁,а₂,а₃, а число избыточных двоичных наборов равно двум.

Рассмотрим первый вариант кодирования А:

S₁ → 000; S₂ → 010; S₃ → 100; S₄ → 001; S₅ → 111; S₆ → 110;

Кодированная таблица переходов заданного автомата приведена в табл. 3.29

Табл.3.29

x(t)	S1(t)	S2(t)	S3(t)	S1(t+1)	S2(t+1)	S3(t+1)
0	0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	1	0	0
0	1	0	0	0	1	0
0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	0
0	1	1	0	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0
1	0	1	0	0	0	1
1	1	0	0	1	1	1
1	0	0	1	0	1	0
1	1	1	1	1	0	0
1	1	1	0	0	0	0

Запишем функции возбуждения:

S₁(t+1)=x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+ x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+ x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+ x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t);

S₂(t+1)= x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+ x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+ x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+ x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t);

S₃(t+1)= x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+ x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+ x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+ x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t);

Избыточные комбинации: x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t); x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t); x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t); x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t);

Минимизируем полученные функции (рис. 3.9)

		x(t)
S1(t)		1		1
		b	1	1	b		S3(t)
			b	b	1
				1	1
			S2(t)

		x(t)
S1(t)		1		1	1
		b		1	b		S3(t)
		1	b	b	1
		1
			S2(t)

		x(t)
S1(t)		1		1
		b			b		S3(t)
			b	b	1
			1
			S2(t)

Рис. 3.9. Карты Вейча для минимизации функций S₁(t+1), S₂(t+1), S₃(t+1).

Полученные в результате минимизации функции относительно сложны:

S₁(t+1)=x(t)S₂(t)S₃(t)+x(t)S₁(t) + x(t)S₂(t) +S₁(t)S₂(t);

S₂(t+1)= x(t)S₂(t)+x(t)S₁(t)+S₁(t)S₃(t);

S₃(t+1)= x(t)S₁(t)S₂(t)+x(t)S₁(t)S₂(t)+x(t)S₂(t)S₃(t)+x(t)S₁(t)S₃(t);

Рассмотрим второй вариант кодирования Б внутренних состояний заданного автомата:

S₁→111; S₂→110; S₃→100; S₄→011; S₅→000; S₆→010.

Кодировочная таблица переходов для варианта кодирования Б приведена в табл.3.30.

x(t)	S1(t)	S2(t)	S3(t)	S1(t+1)	S2(t+1)	S3(t+1)
0	0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0
0	1	0	0	1	1	0
0	1	1	0	1	0	0
0	1	1	1	1	0	0
1	0	0	0	1	0	0
1	0	1	0	1	1	1
1	0	1	1	1	1	0
1	1	0	0	0	0	0
1	1	1	0	0	1	1
1	1	1	1	0	1	0

Функции возбуждения входов запишутся в этом случае в следующем виде:

S₁(t+1)=x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+ x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+ x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t);

S₂(t+1)= x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+ x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+ x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t);

S₃(t+1)= x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t)+x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t);

Избыточные комбинации при таком кодировании: x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t); x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t); x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t); x(t)S₁(t)S₂(t)S₃(t);

Карты Вейча для минимизации полученных функций возбуждения приведены на рисунке 3.10

		x(t)
S1(t)				1	1
		b		1	b		S3(t)
		b	1		b
		1	1
			S2(t)

		x(t)
S1(t)			1		1
		b	1		b		S3(t)
		b	1		b
			1		1
			S2(t)

		x(t)
S1(t)			1
		b			b		S3(t)
		b			b
			1
			S2(t)

Минимальные формы функций возбуждения

S₁(t+1)=x(t)S₁(t) + x(t)S₁(t);

S₂(t+1)= x(t)S₂(t)+x(t)S₂(t);

S₃(t+1)= x(t)S₂(t)S₃(t);

Из полученных выраженийц для реализации заданного автомата видно, что кодирование внутренних состояний по варианту Б гораздо эффективнее, чем кодирование по варианту А. Оно является кодированием с минимальной зависимостью. В данном примере S, не зависит от S₂ и S₃, а S₂ не зависит от S₁ и S₃.

Реализация автомата при кодировании внутренних состояний по варианту А привело бы к более сложной схеме.

Мы рассмотрели один из возможных подходов к кодированию внутренних состояний конечного автомата.

Из приведенного выше примера можно понять, что сложность комбинационной части автомата существенно зависит от кодирования внутренних состояний автомата, а так же от выбранных для реализации элементарных автоматов и типа логических схем.

Различные подходы к кодированию внутренних состояний конечных автоматов рассмотрены в работах |11,12,13|.