Задача 2
Числа Мерсенна – числа вида
,
где
– натуральное число.
Последовательность чисел Мерсенна начинается так:
1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, …
Числа Мерсенна получили известность в
связи с эффективным критерием простоты
Люка – Лемера, благодаря которому
простые числа Мерсенна давно удерживают
лидерство как самые большие известные
простые числа. На данный момент самым
большим известным простым числом
является число Мерсенна
.
Всего известно 47 простых чисел Мерсенна, причём порядковые номера с уверенностью установлены только у первых 40.
Последовательность простых чисел Мерсенна и их показателей начинается так:
:
3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951,
…
:
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, …
В данной работе используется следующий
алгоритм для поиска
-ого
простого числа Мерсенна:
1.
2. Проверяется, является ли
простым числом. Если нет, то
и возврат к шагу 2.
3. Вычисляется
.
4. Проверяется, является ли
простым числом. Если нет, то
и возврат к шагу 2.
5. Если
,
то
– искомое простое число Мерсенна, иначе
,
и возврат к шагу 2.
Результаты вычислительного эксперимента
Для 8-ого числа Мерсенна и 4-х потоков имеем:
Вывод: применение языка FPTL для распараллеливания решения предложенной задачи описанным методом не даёт какого-либо ускорения.
// Вычисление n-ого простого числа Мерсенна
// in [1] - номер простого числа Мерсенна (n)
Scheme MersenneSimple
{
@ = id.nMersenneSimple.print;
// Вычисление n-ого числа Мерсенна
// in [1] - номер числа Мерсенна (n)
// out [1] - n-ое число Мерсенна
nMersenne = [1].pow2.dec;
// Вычисление n-ого простого числа Мерсенна
// in [1] - номер простого числа Мерсенна (n)
nMersenneSimple = ([1] * 1 * 2).nMersenneSimpleR;
// in [2] - текущий номер простого числа Мерсенна (m)
// in [3] - номер текущего простого числа (p)
// out [1] - n-ое простое число Мерсенна
nMersenneSimpleR = ([1] * [2]).equal ->
([3].isSimple ->
([3].nMersenne.isSimple ->
[3].nMersenne,
([1] * [2] * [3].inc).nMersenneSimpleR
),
([1] * [2] * [3].inc).nMersenneSimpleR
),
([3].isSimple ->
([3].nMersenne.isSimple ->
([1] * [2].inc * [3].inc).nMersenneSimpleR,
([1] * [2] * [3].inc).nMersenneSimpleR
),
([1] * [2] * [3].inc).nMersenneSimpleR
)
;
// --- Вспомогательные функции ---
// Определение, является ли число простым
// in [1] - целое число
isSimple = ([1] * [1].sqrt.round).isSimpleR;
// in [2] - проверяемый делитель
// out [1] - true, если число простое, иначе - false
isSimpleR = ([2] * 1).lequal -> true,
([1] * [2]).equal -> ([1] * ([2] * 1).sub).isSimpleR,
(([1] * [2]).mod * 0).nequal -> ([1] * ([2] * 1).sub).isSimpleR, false;
// Возведение числа в степень
// in [1] - число
// in [2] - степень
// out [1] - результат возведения числа в степень
pow = ([2] * 0).equal -> 1, ([1] * ([1] * [2].dec).pow).mul;
// Возведение числа 2 в степень
// in [1] - степень
// out [1] - результат возведения числа 2 в степень
pow2 = (2 * [1]).pow;
// Инкремент
inc = ([1] * 1).add;
// Декремент
dec = ([1] * 1).sub;
}
Application
% MersenneSimple(8)
1 Среднее арифметическое по результатам 5 измерений
Москва, 2012