Краткое изложение теоретических вопросов Правило суммы

Пример 1. На тарелке лежат 6 яблок и 3 груши. Сколькими способами можно выбрать тот или иной фрукт?

Решение. По условию задачи яблоко можно выбрать шестью способами, а грушу – тремя. Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо груша», то, чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо сложить количество выборов этих фруктов, т.е. 6 + 3 = 9. Значит, девятью способами можно выбрать один из фруктов.

Говорят, что в данном случае задача решена по правилу суммы.

^ Правило суммы. Если элемент а можно выбрать t способами, а элемент b – n способами, причем любой выбор элемента а отличается от любого выбора элемента b, то выбор «а или b» можно осуществить t+n способами.

Правило суммы и его следствие применяются для решения комбинаторных задач. Часто приходится разбивать все множество перечисляемых комбинаций на попарно непересекающиеся группы комбинаций, подсчитывать число элементов в каждой группе и потом складывать получившиеся ответы.

Пример 1. Из 50 студентов 20 знают немецкий язык, а 15 – английский. Каким может быть число студентов, знающих оба языка; знающих хотя бы один язык?

Решение. В задаче рассматривается множество А – всех студентов и его подмножества: В – студентов, знающих немецкий язык, и С – студентов, знающих английский язык. Известно, что п(А) = 50, п(В) = 20, п(С) = 15.

Возможные отношения между множествами А, В и С можно изобразить при помощи кругов Эйлера (рис. 12).

рис.12

Вопрос о числе студентов, знающих оба языка, сводится к определению числа элементов в пересечении множеств В и С, а вопрос о числе студентов, знающих хотя бы один язык, – к определению числа элементов в объединении множеств В и С. Если х – число студентов, знающих оба языка, то, используя рис. 12, заключаем, что 0 ≤ x ≤ 15

(x ∈Z₀). Если у – число студентов, знающих хотя бы один язык,

то 20 ≤ y ≤ 35(y ∈Z₀).

Таким образом, правило суммы позволяет найти число элементов в объединении конечных множеств.

Правило произведения

Задачи комбинаторики, как было сказано, решаются и по другому правилу, правилу произведения. Это правило подсчета элементов декартова произведения конечных множеств.

Рассмотрим пример.

Пример 2. Из Сургута до Тюмени можно добраться поездом, теплоходом, самолетом, автобусом; из Тюмени до Екатеринбурга – самолетом, поездом и автобусом. Сколькими способами можно осуществить путешествие по маршруту Сургут – Тюмень – Екатеринбург?

Решение. Очевидно, число разных путей из Сургута до Екатеринбурга равно 4∙3=12, так как, выбрав один из четырех возможных способов путешествия от Сургута до Тюмени, имеем три возможных способа путешествия от Сургута до Екатеринбурга (рис. 13).

рис.13

При решении задачи 2 мы воспользовались правилом комбинаторики, которое называется правилом произведения.

Правило произведения. Если элемент а можно выбрать t способами, элемент b можно выбрать n способами, то пару (а, b) можно выбрать t ∙ n способами.

Иначе говоря, если некоторое действие (например, выбор пути от Сургута до Тюмени) можно осуществить t различными способами, после чего другое действие (выбор пути от Тюмени до Екатеринбурга) можно осуществить n способами, то два действия вместе (выбор пути от Сургута до Тюмени, выбор пути от Тюмени до Екатеринбурга) можно осуществить m ∙ n способами.

Пример 3. На тарелке лежат 6 яблок и 3 груши. Сколькими способами можно выбрать пару плодов, состоящую из яблока и груши?

Решение. По условию задачи яблоко можно выбрать шестью способами, а грушу – тремя. Так как

в задаче речь идет о выборе пары (яблоко, груша), то ее, согласно правилу произведения, можно выбрать 6 ∙ 3 способами.