Тема 2.2. Приближение действительных чисел конечными десятичными дробями Абсолютная и относительная погрешности приближенного значения числа

1. Абсолютная погрешность.

Найдем по графику функции y = x² её приближенное значение при x = 1.5 , если x = 1.5, то y ≈ 2.3

По формуле y = x² можно найти точное значение этой функции: если x = 1.5, то y = 1.52 = 2.25

Приближенное значение отличается от точного на 0.05, так как 2.3 - 2.25 = 0.05.

Чтобы узнать, на сколько приближенное значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее. Иначе говоря, надо найти модуль разности точного и приближенного значений. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью.

Определение: Абсолютной погрешностью приближенного значения называется модуль разности точного и приближенного значений.

Если x ≈ a и абсолютная погрешность этого этого приближенного значения не превосходит некоторого числа h, то числа a называют приближенным значением x с точностью до h.

Точность приближенного значения зависит от многих причин. В частности, если приближенное значение получено в процессе измерения, то точность зависит от прибора, с помощью которого выполнялось измерение.

Предельной абсолютной погрешностью Δ_a приближенного числа а называется число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа,

т. е.

Δ_a ≥ Δ. (1)

Из (1) имеем

Δ_a ≥ |А — а|,

следовательно,

а - Δ_a  А  а + Δ_a,

2. Относительная погрешность.

При измерении (в сантиметрах) толщины b стекла и длины l книжной полки получили результаты:

b≈0.4 с точностью до 0.1

l≈100.0 с точностью до 0.1

Абсолютная погрешность каждого из этих измерений не превосходит 0.1. Однако 0.1 составляет существенную часть числа 0.4 и ничтожную часть числа 100. Это показывает, что качество второго измерения намного выше, чем первого. Для оценки качества измерений используется относительная погрешность приближенного значения.

Определение: Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.

Практические занятия

Студенту необходимо уметь:

-выполнять приближенные вычисления;

- применять правила приближенных вычислений.

№ 1. Округление чисел. Погрешности простейших арифметических чисел

Краткое изложение теоретического вопроса

В разных сферах могут применяться различные методы округления. Во всех этих методах «лишние» знаки обнуляют (отбрасывают), а предшествующий им знак корректируется по какому-либо правилу.

Округление к ближайшему целому (англ. rounding) — наиболее часто используемое округление, при котором число округляется до целого, модуль разности с которым у этого числа минимален. В общем случае, когда число в десятичной системе округляют до N-ого знака, правило может быть сформулировано следующим образом:

если N+1 знак < 5, то N-ый знак сохраняют, а N+1 и все последующие обнуляют;

если N+1 знак ≥ 5, то N-ый знак увеличивают на единицу, а N+1 и все последующие обнуляют;

Например: 11,9 → 12; −0,9 → −1; −1,1 → −1; 2,5 → 3.

Округление к меньшему по модулю (округление к нулю, целое англ. fix, truncate, integer) — самое «простое» округление, поскольку после обнуления «лишних» знаков предшествующий знак сохраняют. Например, 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1).

Округление к большему (округление к +∞, округление вверх, англ. ceiling) — если обнуляемые знаки не равны нулю, предшествующий знак увеличивают на единицу, если число положительное, или сохраняют, если число отрицательное. В экономическом жаргоне — округление в пользу продавца, кредитора (лица, получающего деньги). В частности, 2,6 → 3, −2,6 → −2.

Округление к меньшему (округление к −∞, округление вниз, англ. floor) — если обнуляемые знаки не равны нулю, предшествующий знак сохраняют, если число положительное, или увеличивают на единицу, если число отрицательное. В экономическом жаргоне — округление в пользу покупателя, дебитора (лица, отдающего деньги). Здесь 2,6 → 2, −2,6 → −3.

Округление к большему по модулю (округление к бесконечности, округление от нуля) — относительно редко используемая форма округления. Если обнуляемые знаки не равны нулю, предшествующий знак увеличивают на единицу.

Правило: При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра больше или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если же первая оставшаяся за этим разрядом цифра меньше 5, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют.

Пример 1. Округлить число α = 2471,05624 с точностью до:

а) десятков α ≈ 2470;

б) единиц α ≈ 2471;

в) десятых α ≈ 2471,1;

г) сотых α ≈ 2471,06;

д) тысячных α ≈ 2471,056.

Пример 2. Округлить число 74,28 до десятых.

Решение:

При округлении числа 74,28 до десятых следует написать 74,3. Действительно, за цифрой 2, обозначающей разряд десятых следует цифра 8, которая больше 5. Следовательно, цифру 2 нужно увеличить на 1. Получается, как и было сказано, 74,3.

Если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последняя из сохраняемых цифр остаётся неизменной.

Пример 3. Округлить число 74,24 до десятых.

Решение:

При округлении числа 74,24 до десятых следует написать 74,2. Действительно, за цифрой 2, обозначающей разряд десятых, следует цифра 4, которая меньше 5. Следовательно, цифру 2 нужно оставить без изменения. Получается, как и было сказано, 74,2.

Ответ. 74,2.

Запомните: Если приближенное число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить. При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются, причем если первая отбрасываемая цифра больше или равна d/2, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. При округлении возникает дополнительная погрешность, не превышающая половины единицы разряда последней значащей цифры округленного числа. Поэтому, чтобы после округления все знаки были верны, погрешность до округления должна быть не больше половины единицы того разряда, до которого предполагают делать округление.

Выполните следующие задания:

1.Округлить до десятых: а) число 74,25; б) число 74,35.

2. Округлить до сотен: а) 17528, б) 375461, в) 42150, г) 560470.

3. Определи, с какой точностью округлены числа:

327847 ~ 3278007? 168294 ~ 170000? 596968 ~ 600000? Как еще можно округлить эти числа с такой же точностью?

4.Решите задач, применив правила округления:

а) Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 65 миль в час? Ответ округлите до целого числа.

б) В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 70 копеек. Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за 1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.

№ 2-4. Вычисление абсолютной и относительной погрешностей