Особенности десятичной системы счисления

Трудности в развитии науки были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системой записи чисел и понятия нуля. Ее завезли в Европу арабские купцы поэтому ее долго называли арабской.

В десятичной системе счисления для записи чисел используются 10 знаков (цифр): 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Для краткости записи цифры пишут друг за другом, а значение цифры зависит от ее места, считая справа налево. Например: 5457 — краткая запись числа "пять тысяч четыреста пятьдесят семь". Подробная запись этого числа выглядит так: 5000 + 400 + 50 + 7 или, более строго, 5∙ 10³ + 4 ∙ 10² + 5∙ 10 + 7.

Запись числа в математике выглядит следующим образом: x = а _n ∙ 10 ⁿ +a_n-1 ∙10 ^n-1 + …..+ а₁ ∙ 10¹ + а₀ ∙10⁰ , где а _n не должно быть равным 0, а- это цифры, 10ⁿ , 10 ^n-1 ,…, 10¹ , 10⁰ – разряды.

Три первых разряда образуют класс единиц следующие три разряда — классом тысяч, затем идет класс миллионов и др.

Практические занятия

Студенту необходимо уметь:

-записывать, сравнивать выполнять арифметические действия в позиционных системах счисления, отличных от десятичной;

- описывать алгоритмы арифметических действий над числами, записанными в десятичной системе счисления;

- переводить числа из одной системы счисления в другую;

-выполнять арифметические действия над числами, записанными в системах счисления, отличных от десятичной.

№ 1.Запись, сравнение и арифметические действия в позиционных системах счисления, отличных от десятичной

Основанием позиционной системы счисления может быть не только число 10, но и вообще любое натуральное число p≥2. Система счисления с основанием p называется p-ичной. Так, если p = 2, то – двоичной, если p = 8 – восьмеричной, если р = 10 – десятичной.

Для записи чисел в системе с основанием р необходимо р символов. Принято использовать знаки десятичной системы счисления: 0, 1, 2, ..., p – 1. Например, числа в троичной системе счисления записывают при помощи символов 0, 1, 2, а в пятеричной – при помощи символов 0, 1, 2, 3, 4.

Сравнение чисел в системе счисления с основанием р (р ≠ 10) выполняется так же, как и в десятичной системе. Так, 21013 < 21023, поскольку при одинаковом числе разрядов и совпадении трех цифр старших разрядов число единиц в первом числе меньше числа единиц во втором.

Арифметические действия над числами в позиционных системах счисления с основанием р (р ≠ 10) выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. Надо лишь иметь для системы с основанием р соответствующие таблицы сложения и умножения однозначных чисел.

Задача 1. Составить таблицы сложения и умножения однозначных чисел в троичной системе счисления.

Решение. Однозначные числа в ней – это 0, 1, 2. Число 3 записывается 10. Число 4 имеет вид 113, так как 4 = 1·3 + 1 = 113.

Выполните следующие задания:

1. Выполнить действия над числами:

а) 12213 + 1223; в) 1223 · 223;

б) 21103 – 2123; г) 100113 : 123.

Значит, а) 12213 + 1223 = 21203; б) 21103 – 2123 = 11213;

в) 1223 · 223 = 120013; г) 100113 : 123 = 1223.

Продемонстрируйте решение с комментированием.

2. Составить таблицы сложения и умножения однозначных чисел в пятеричной системе счисления.

Решение (подсказка). Однозначные числа в ней – это 0, 1, 2, 3, 4. Число 5 записывается 10. Число 6 имеет вид 115, так как 6 = 1·5 + 1 = 115. Число 7 имеет вид 125, так как 7 = 1·5 + 2 = 125. Число 8 имеет вид 135, так как 8 = 1·5 + 3 = 135. Число 9 имеет вид 145, так как 9 = 1·5 + 4 = 145. Число 12 имеет вид 225, так как 12=2·5+2=225. Число 16 имеет вид 315, так как 16 = 3·5 + 1 = 315.

Составьте эти таблицы самостоятельно, опираясь на подсказку.

3. Провести сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел 1010₂ и 10₂ и проверить правильность выполнения.

№ 2-4. Алгоритмы арифметических действий над числами, записанными в десятичной системе счисления

Выполните следующие задания:

1.На примере сложения чисел 369 и 287 опишите, какие теоретические положения лежат в основе алгоритма сложения многозначных чисел. Пояснения представьте в табличном виде (пошагово).

2. не вычисляя значений выражений, определите, какая сумма больше. Поясните, почему: а) 457+ 201 или 457+135; б) 792+352 или 352+791 ? На какие правила опирались при сравнении числовых выражений?

3.Прокомментируйте вычитание многозначных чисел с помощью алгоритма письменного вычитания: а) 1025-869; б) 526-452; в) 25647-19205.

4. На примере умножения чисел 467 и 34 покажите, какие теоретические положения лежат в основе алгоритма умножения многозначных чисел.

5. Прокомментируйте согласно алгоритму письменного деления процесс деления многозначных чисел: а) 1824:76; б) 2548:52.

№ 5-7. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Как перевести целое число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления?

При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q, его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q–1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

Выполните следующие задания:

1. Перевести число N = 4710 в двоичную систему счисления; в троичную систему счисления

2. Перевести число 365 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную и восьмеричную системы счисления.

3. Переведите в десятичную систему двоичные числа:

а) 1000011110101; б) 1010010111011.

4. Переведите в двоичную систему восьмеричные числа:

а) 54321; б) 777; и) 1010001.

№ 8. Арифметические действия над числами, записанными в системах счисления, отличных от десятичной

Выполните следующие задания:

1. Сложить восьмеричные числа: 58 и 48, 178 и 418.

2. Сложить числа: 17₈ и 1751₈, 431₆ и 411₆ .

3. Выполните сложение чисел: 102354₆ и 34102₅ .

4.Ответьте на вопросы: а) каков базис троичной, шестеричной, восьмеричной систем счисления; б) сколько знаков и какие можно использовать для записи чисел с основанием: р = 4; р = 5; р = 6; р = 7 ?