4. Косвенные измерения.

При косвенных измерениях искомое значение величины находят расчетом на основе измерения других величин, связанных с измеряемой величиной известной зависимостью

(1)

Результатом косвенного измерения является оценка величины А, которую находят подстановкой в предыдущую формулу оценок аргументов а_i.

Поскольку каждый из аргументов а_i, измеряется с некоторой погрешностью, то задача оценивания погрешности результата сводится к суммированию погрешностей измерения аргументов. Однако особенность косвенных измерений состоит в том, что вклад отдельных погрешностей измерения аргументов в погрешность результата зависит от вида функции.

Для оценки погрешностей существенно разделение косвенных измерений на линейные и нелинейные косвенные измерения. При линейных косвенных измерениях уравнение измерений имеет вид

(2)

где b_i — постоянные коэффициенты при аргументах а_i.

Любые другие функциональные зависимости относятся к нелинейным косвенным измерениям.

Результат линейного косвенного измерения вычисляют по формуле (2), подставляя в нее измеренные значения аргументов.

Погрешности измерения аргументов могут быть заданы своими границами Δa_i, либо доверительными границами Δa(P)_i, с доверительными вероятностями Р_i.

При малом числе аргументов (меньше пяти) простая оценка погрешности результата ΔA получается суммированием предельных погрешностей (без учета знака), т.е. подстановкой границ Δа₁, Δа₂, … , Δа_m в выражение

Однако эта оценка является излишне завышенной, поскольку такое суммирование фактически означает, что погрешности измерения всех аргументов одновременно имеют максимальное значение и совпадают по знаку. Вероятность такого совпадения практически равна нулю. Для нахождения более реалистичной оценки переходят к статистическому суммированию погрешностей аргументов. Полагая, что в заданных границах погрешности аргументов распределены равномерно, доверительные границы ΔА(Р) погрешности результата измерения рассчитывают по формуле

где коэффициент k =1,1 при Р = 0,95.

Если погрешности измерения аргументов заданы доверительными границами с одинаковыми доверительными вероятностями, то полагая распределение этих погрешностей нормальным, доверительные границы результата находят по формуле

При различных доверительных вероятностях погрешностей аргументов их необходимо привести к одному и тому же значению Р.

Нелинейные косвенные измерения характеризуются тем, что результаты измерений аргументов подвергаются функцио­нальным преобразованиям. Но, как показано в теории вероятностей, любые, даже простейшие функциональные преобразования случайных величин, приводят к изменению законов их распределения. В этом случае приходится ограничиваться приближенной оценкой границ погрешности результата косвенных измерений. В основе приближенной оценки погрешности нелинейных косвенных измерений лежит линеаризация функции и дальнейшая обработка результатов, как при линейных измерениях. Исходя из выше написанного, приближенное значение абсолютной погрешности результата косвенного измерения будет равно

где k = 1,1 при доверительной вероятности Р = 0,95.

Относительная погрешность результата косвенного измерения (в процентах)

При этом предполагается, что распределение погрешностей аргументов функции подчиняется равномерному закону.

ЗАДАЧИ

203. Шестикратное измерение сопротивления резистора дало следующие результаты: 72,361; 72,357; 72,352; 72,344; 72,345.

Найти результат измерения и доверительный интервал его при вероятности Р = 0,99. Будем считать, что неисключенные систематические, погрешности очень малы по сравнению со случайными.

Решение:

а) Находим среднее арифметическое результатов:

; .

б) Находим остаточные суммы _i;

;

…………………………………..

.

в) Находим сумму квадратов остаточных сумм:

.

г) Определим оценку среднего квадратического отклонения результатов измерений:

.

д) Определим оценку среднего квадратического отклонения среднего результата (результата измерения):

.

е) Для n = 6 и Р = 0,99 коэффициент Стьюдента (по таблице № 1) равен t = 4,03.

Доверительный интервал результата измерения

.

ж) Результат измерения запишется в виде:

,

где R_д – действительное значение сопротивления.

203. Получен ряд наблюдений при измерении сопротивления тензодатчика для определения величины деформации детали: 9,992; 9,995; 9,997; 9,999; 10,000; 10,001; 10,003; 10,005; 10,007; 10,121 Ом.

Определить есть ли промахи при данных измерениях?

Решение:

Подозрительным является результат , т.к. он по величине отличается от остальных.

Определим среднее арифметическое значение сопротивления тензодатчика:

.

Определим оценку среднего квадратического отклонения результатов.

; .

Подозрительный результат (в нашем случае десятый) можно считать промахом, если (правило трех сигма).

Проверяем: 10,121-10,012 = 0,109 =

Данный результат не является промахом, т.к. 0,109>0,123 (Ом).

203. Определить мощность, выделяющуюся на резисторе если падение напряжения на нем равно Погрешность измерения сопротивления .

Определить абсолютную и относительную погрешности измерения мощности. Погрешность измерения напряжения .

Решение:

Мощность определим по формуле:

.

Относительная погрешность измерения может быть вычислена по формуле:

т.к. , то , .

203. Пусть цена деления равномерной шкалы равна Х_д единиц измеряемой физической величины, длина деления равна L_д мм. Определить наибольшее значение личной погрешности .

Решение:

При условии, что средний оператор может интерполировать в пределах деления шагами по 0,2 деления, т.е. по 0,2L_д, наибольшее значение личной погрешности

Δ_лм = Х_д · 0,2L_д/L_д = 0,2Х_д.

203. Напряжение источника ЭДС U_x с внутренним сопротивлением R_i = 60±10 Ом измерено вольтметром класса точности 0,5. Сопротивление вольтметра R_В = 5 кОм и известно с погрешностью ±0,5%. Показание вольтметра U_В = 12,35 В. Найти поправку, которую нужно внести в показание прибора для определения действительного значения напряжения источника ЭДС.

Решение:

Показания вольтметра соответствуют падению напряжения на нем:

.

Относительная систематическая методическая погрешность, обусловленная ограниченным значением сопротивления R_В,

.

Поправка к показанию вольтметра равна абсолютной погрешности, взятой с обратным знаком. Т.к. , то ; . Погрешность полученного значения поправки определяется погрешностью, с которой известно сопротивление R_i. Ее предельное значение составит = 10/60=0,167. Погрешностью из-за неточности оценки R_В, равной 0,005, можно пренебречь. Следовательно, погрешность определения поправки .

Таким образом, поправка, которую необходимо ввести в показания вольтметра с учетом округления = + 0,15B. Тогда исправленное значение U’_x = 12,35 + 0,15 = 12,50B. Этот результат имеет определенную погрешность, обусловленную допустимой погрешностью вольтметра и, в том числе, неисключенный остаток систематической погрешности Δ = ± 0,03 В или = ±0,24% из-за потребления некоторой мощности вольтметром.

203. Оценить погрешность результата однократного измерения напряжения U = 0,9 В на сопротивлении R = 4 Ом, выполненного вольтметром класса точности 0,5 с верхним пределом измерения U_н = 1,5 В и внутренним сопротивлением R_В = 1000 Ом. Известно, что дополнительные погрешности показаний вольтметра из-за магнитного поля и температуры не превышают соответственно = ±0,75% и = ±0,3%.

Решение:

Предел допускаемой относительной погрешности вольтметра на отметке 0,9 В составляет

где р – класс точности вольтметра.

Это неисключенная систематическая погрешность, обусловленная основной погрешностью вольтметра.

При подсоединении вольтметра исходное напряжение U_x изменяется из-за наличия R_В показание вольтметра будет равно:

Тогда методическая погрешность, обусловленная конечным значением R_В, в относительной форме

Данная погрешность является систематической и должна быть внесена в результат в виде поправки. Поправка в абсолютной форме на отметке 0,9 В равна . Тогда результат измерения с учетом поправки U_х = 0,9 + 0,004 = 0,904В.

Поскольку основная и дополнительная погрешности заданы своими граничными значениями, то они могут рассматриваться как неисключенные систематические погрешности и соответственно суммироваться по формуле , где Р - доверительная вероятность, k – коэффициент, зависящий от Р; при Р = 0,9 k = 0,95, при Р = 0,95 k = 1,1. При доверительной вероятности 0,95 доверительная граница неисключенной систематической погрешности

В абсолютной форме = 0,012 B. Окончательный результат измерения с учетом округления записывается в виде U = 0,9 B; Δ = ±0,01B; P = 0,95.

203. Цифровым измерителем иммитанса Е7- 14 проводились прямые многократные измерения сопротивления магазина сопротивлений марки Р33, номинальное значение которого равно 0,1Ом. Измерения проводились в диапазоне рабочих температур измерителя иммитанса. Получены следующие результаты измерения R_i: 145,44; 145,36; 145,43; 145,38; 145,44; 145,42; 145,41; 145,39; 145,40; 145,41; 145,45; 145,43; 145,46; 145,37; 145,48 мОм.

Для устранения влияния соединительных проводов и переходных сопротивлений контактов был проведен ряд измерений при нулевом значении магазина сопротивлений. Получены следующие результаты измерения R_0i: 45,30; 45,29; 45,28; 45,29; 45,28; 45,30; 45,30; 45,30; 45,30; 45,31; 45,32; 45,30 мОм.

Требуется провести обработку результатов измерений. Найти суммарную погрешность измерения сопротивлений.

Решение:

Суммарная погрешность измерения сопротивления складывается из случайной и систематической погрешностей. Систематическая погрешность измерения сопротивления состоит из трех составляющих, обусловленных:

1. ненулевым значением сопротивления соединительных проводов и переходных контактов зажимов используемых средств измерений;

2. основной погрешностью, обусловленной классом точности прибора;

3. дополнительной погрешностями измерителя иммитанса Е7-14.

Первая из них может быть оценена исходя из данных измерений нулевого сопротивления магазина. Полученный ряд данных характеризуется средним арифметическим значением и оценкой его СКО:

Сопротивление проводов постоянно присутствует в результатах измерений и по своей сути является систематической погрешностью, которая может быть исключена из результатов измерений путем введения поправки , равной –45,295 мОм, т.к. .

Доверительный интервал погрешности измерения сопротивления проводов, равный мОм при доверительной вероятности Р = 0,95, можно рассматривать двояко: как неисключительную систематическую погрешность и как составляющую случайной погрешности. В любом случае, как это будет видно далее, ее значение столь мало, что согласно критерию ничтожно малой погрешности ею можно пренебречь.

После введения поправки получается исправленный ряд значений сопротивления R_иi: 100,145; 100,065; 100,135; 100,085; 100,145; 100,125; 100,115; 100,095; 100,105; 100,115; 100,155; 100,135; 100,165; 100,075; 100,185 мОм.

Составляющая систематической погрешности, обусловленная основной погрешностью измерителя иммитанса Е7-14, рассчитывается согласно паспорту по формуле , а для нашего случая

.

Здесь - среднее арифметическое значений ряда неисправленных показаний измерителя иммитанса, равное 145,418 мОм. Следовательно, систематическая погрешность, обусловленная основной погрешностью Е7-14

Систематическая погрешность, обусловленная дополнительной погрешностью средства измерений из-за влияния температуры (согласно паспорту) определяется по формуле

.