1.Первообразная и неопределенный интеграл.

Функция   называется первообразной для функции   на промежутке  , конечном или бесконечном, если функция   дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если справедливо равенство F’(x)=f(x).

В общем случает, если для функции f(x) есть первообразная F(x), для которой выполняется равенство, то f(x) +с так же первообразная для функции f(x), где с – произвольная константа.

Функция вида F(x)+c – семейство первообразных.

(О бесконечном множестве первообразных для функции)

Если функция   является первообразной для функции   на некотором промежутке, то и функция  , где   - произвольная постоянная, также будет первообразной для функции  на рассматриваемом промежутке.

(Об общем виде первообразной для функции)

Если функции   и   - две любые первообразные функции  , то их разность равна некоторой постоянной, то есть

Теорема 1. Пусть F(x) некоторая первообразная для f(x), тогда все первообразные представлены в виде семейства f(x)+с, где с – константа.

Док-во. Пусть F(x) –первообразная для f(x).

Фи(х)= f(x)

По условию теоремы F(x) так же первообразная f(x)= F(x)

Вычтем: фи(х)- f(x)=0

По св-ву производной:

(фи(х)- f(x))’=0

Следовательно:

фи(х)- f(x)=с

фи(х)- f(x)+с

Следствие: любые две первообразные для одной и той же функции отличаются разве лишь на постоянное число.

Семейство первообразных f(x)+c функции f(x) называют неопределенными интегралами и обозначают значком интеграла.

Теорема 2 (без док-ва).

Если f(x) подинтегральная функция непрерывная на некотором промежутке, то для нее существет первообразная и неопределенный интеграл.

Совокупность всех первообразных функции  , определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции   и обозначается символом  . То есть

Знак   называется интегралом,   - подынтегральным выражением,   - подынтегральной функцией, а   - переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции   называется интегрированием функции  . Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.

Т. о. с геометрической точки зрения неопределенный интеграл есть семейство интегралов кривых, полученных х в результате сдвига интегральной кривой у= f(x) в направлении оси ОУ вверх/вниз на отрезок произвольной длины с.

2.Определение определенного интеграла и его геометрический смысл.

Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где  ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. При этом употребляется запись

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.

Сумма   называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм   при  , не зависящий ни от способа разбиения отрезка[a,b] на части [x_i-1 , x_i], ни от выбора точек  , то функция f(x) называется интегрируемой по отрезку [a,b], а этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается  .  Функция f(x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.  В этом определении предполагается, что b> a. Для других случаев примем, тоже по определению:  Если b=a, то  ; если b<a, то  .

если f(x) >0 на отрезке [a,b], то   равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).

Если функция  непрерывна и положительна на некотором отрезке , то интеграл  равен площади криволинейной трапеции, которая ограничена осью абсцисс, графиком функции  и вертикальными прямыми  и (рис. 1):