1. Понятия числового ряда, его общего члена, частичных сумм и суммы (в случае его сходимости). Геометрическая прогрессия.

Пусть имеется бесконечная числовая последовательность Определение: бесконечным числовым рядом называется следующая формальная сумма: (1) – n-я частичная сумма (1). (2). Определение: 1)Если предел (2) существует и конечен, то ряд (1) называется сходящимся, при этом S называется суммой ряда. 2)В противном случае ряд (1) называется расходящимся и говорят, что он суммы не имеет. Геометрическая прогрессия – числовая последовательность, каждый член которой, начиная со 2-го равен предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для этой прогрессии число, которое называется знаменателем прогрессии. , (3) . 1)q=1 , , - расходится. 2) , , .

2. Частичный остаток ряда. Эквивалентность ряда и его частичного остатка в отношении сходимости.

(1) , определение: k-тым остатком ряда (1) называется ряд, полученный из (1) отбрасыванием первых его k-членов. (2). Теорема: Ряд (1) и его k-ый остаток (2) сходятся или расходятся одновременно. Док-во: –n-ная частица суммы ряда (1), n>k. . , (3) , существует такой , который равносилен . Следствие 1: пусть ряд (1) сходится и имеет сумму S, тогда по теореме, ряд (2) тоже сходится. Пусть он имеет сумму (4). Следствие 2: пусть ряд (1) сходится и тогда (2) тоже сходится и имеет сумму , тогда выполняется соотношение: (5), . Следствие 3: Если ряд (1) сходится, то справедливо (6), k- большое.

3. Арифметические операции со сходящимися рядами.

(1) (2). 1)Пусть ряды (1) и (2) сходящиеся и имеют суммы: U и V, тогда ряд, полученный почленным сложением или вычитанием рядов (1) и (2) есть ряд вида: (3). Ряд (3) тоже сходящийся и имеет сумму 2)Ряд, полученный из (1) почленным умножением на число λ, то есть ряд вида: (4) также сходящийся и имеет сумму S=λU. Утверждение 1: – частичные суммы рядов (1) и (2). Пусть – частичная сумма ряда (3). => , значит (3) –сходящийся, а его сумма . Док-во утверждения 2): Пусть n-ая частичная сумма ряда (4). , . при почленном умножении рядов может получиться так, что полученный ряд может быть сходящимся или расходящимся, но сумма .

4. Необходимый признак сходимости ряда и его недостаточность.

Рассмотрим числовой ряд (1). Теорема: Пусть ряд (1) – сходящийся, тогда (2). Доказательство: т.к. ряд сходящийся, то он имеет сумму , , , . Следствие: пусть , тогда (1) – расходящийся. Замечание: если , то это еще не значит, что ряд расходящийся.

5. Знакопостоянные ряды. Общее условие сходимости рядов с положительными членами.

Ряд (1) называется знакопостоянным, если все его члены , либо если все его члены . Т.к. умножение ряда на (-1) не влияет на сходимость ряда, то в дальнейшем можно считать, что ряд (1) с положительными членами . Теорема 1: Общее условие сходимости рядов с положительными членами: для того, чтобы ряд (1) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы все его частичные суммы были ограничены сверху неким числом A. Док-во: Пусть ряд (1) сходящийся, S – сумма. (3) выполняется, если в качестве A взять S. Пусть (3) выполнено, т.к. члены ряда (1) – положительные, то его частичную сумму образует последовательность . Существует , значит все пределы сходящиеся.