9. Несобственные интегралы (от бесконечно большой функции)

Теорема: если интеграл (1) существует, то тогда выполняется следующее: 1)a,b –конечные 2)f(x) ограничена . Существуют M₁ , M_2, (2) Предположим, что а и б – конечные числа, но функция f(x) не ограничена, чаще всего это выполняется когда f(x) является ББ в точке , (3). Если выполняется (3), то (2) несправедливо. Рассмотрим 3 варианта расположения точки с. 1)с=а. Рисунок: оси ху, кривая от буквы у к х, ограничена точками а и б, справа от а точка a+Ԑ. На [a+Ԑ,b] функция непрерывна, значит можно ее интегрировать. , , (4). Если предел (4) конечен, то несобственный интеграл в левой части называется сходящимся и полагается равным пределу, в противном случае – расходящийся. 2) с=б, рисунок такой же, только кривая в обратную сторону и вместо а+ там б- . (5) 3) , рисунок: оси ху между а и б точка с, из нее проведена пунктиром вертикальная ось, есть две кривых, симметричны относительно оси с, идут сверху от оси вниз, слева и справа от точки с стоят точки с- и с+ . (6). Если оба предела конечны, то интеграл сходящийся, а противном случае – нет.

10. Несобственные интегралы (по бесконечному промежутку)

Пусть в интеграле (1) один или оба предела интегрирования бесконечны: , либо и то и другое. 1) . Рисунок: ось ху, слева от 0 А, справа б и идет кривая из бесконечности вправо и пересекается перпендикулярным пунктиром из б. , , Интеграл полагается равным пределу (7). Если предел (7) конечен, то несобственный интеграл в левой части называется сходящимся, в противном случае – расх. 2) (8). Рисунок: оси ху, кривая от а до Б+ , сверху вниз, слева направо. 3) (9) Рисунок: слева от 0, , кривая как горка слева направо.

11. Геометрические применения определенного интеграла (площадь плоской фигуры, объем тела вращения, длина дуги плоской кривой, площадь поверхности вращения).

Площадь плоской фигуры: а) декарт. (1) это для а и б на оси х. Для оси у: (2) б)полярная , , , , . Объем тела вращения, вокруг х: (4), вокруг у: c<d, . Длина дуги: 1) (6) 2) L: y=y(x), . Пусть y(x) – дифференцируема, тогда (7) 3) L: x=x(y) , , x(y) если дифференцируема, то . В полярной системе: L:r=r(ф) (9) , , , . Площадь поверхности вращения: вокруг х: L:y=y(x), , y(x) – дифф. , , , . , . : L:r=r(ф) ,

12. Многочлен Тейлора функции порядка n и его свойства. Форма Пеано остаточного члена.

Пусть f(x) определена для и имеет в точке производную n-го порядка до . Многочленом Тэйлора функции f(x) в точке называется многочлен вида (1) n – порядок многочлена. Теорема 1: производная f(x) и ее многочлен Тэйлора до порядка n включительно в точке совпадают. (2). k=0,…,n. Если k=0, то . Если k=1, то , . Следствие: 1)из-за того, что значение следует, что оба графика y=f(x), проходят через одну и ту же точку 2) => в точке графики имеют общую касательную => (3) если x близко к точке . (4) (5). k=0,..,n. Теорема 2: , , (6). , (7) – формула Тэйлора. (8). Пеано: (9) – формула Тэйлора с остаточным членом Пеано.