1. Первообразная функции и неопределенный интеграл (определения и свойства).

На данном промежутке (a,b) функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F(x) – дифференцируема и F’(x)=f(x). Свойства: 1)Если F(x) –первообразная для f(x), то F(x)+c = F(x). Док.-во: (F(x)+c)’=F’(x)+c’=f(x) 2)Если F₁(x), F₂(x) – первообразные для f(x), то они различаются на постоянную. Док-во: (F₂(x)- F₁(x))’= F₂’(x)- F₁’(x)=f(x)-f(x)=0 => F₂(x)- F₁(x)=c. Следствие: Если множество всех первообразных f(x) имеет вид {F(x)+c} => F(x)-f(x)=c. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех ее первообразных. Обозначается знаком . Свойства интеграла: 1) Производная от интеграла даёт подинтегральную функцию 2) Дифференциал от интеграла равен подинтегральному выражению 3) Интеграл от суммы или разности какого-то количества функций равен сумме/разности интегралов слагаемых: Док-во: 4) Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла. Док-во: . Задача вычисления интеграла называется интегрированием и является задачей обратной к задаче вычисления производной. Если функция f(x) непрерывна для xє(a,b), то интеграл данной функции существует.

2. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Правило замены переменной: Пусть функция x(t) дифференцируема, причем , тогда справедливо равенство: (2) Сосчитаем производную по x от левой и правой части равенства (2): . По частям: u=u(x) и v=v(x) –дифференцируемые функции, тогда справедливо равенство: Док-во:

3. Задача о площади криволинейной трапеции. Определение определенного интеграла и его геометрический смысл.

Рассмотрим на плоскости фигуру, которая ограничена отрезками [a,b] оси ОХ, a<b двумя вертикальными прямыми (уравнениями x=a, x=b). y=f(x), Такая фигура называется криволинейной трапецией. Возьмем и разобьём отрезок [a,b] на n частей. Через точки деления проведем вертикальные отрезки до пересечения с графиком f(x). При этом вся трапеция разобьется на n полосок, площади которых обозначим . Вся площадь: . Площадь каждой полосы сосчитаем произвольно, взяв на ее основании произвольную точку . . Рассмотрим прямоугольник с основанием x_k-1,x_k и высотой h_k. Длина основания: , тогда площадь прямоугольника: . . Точность приближенного равенства (3) тем выше, чем мельче дробление [a,b] на части. Рангом дробления отрезка [a,b] называется максимальная из длин его частей дробления, обозначается . . Если , то в пределе приближенное равенство (3) превратится в точное: . Определение. Если предел (4) существует и не зависит ни от способа разбиения промежутка на части, ни от выбора точек в каждой части разбиения, то он называется определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a,b] и обозначается как . (3). Геометрический смысл: сравнивая (3) и (4), получаем, что если a<b, а функция для , то интеграл от a до b равен площади трапеции. Теорема: Если функция f(x) непрерывна для , то тогда f(x) интегрируема на [a,b].