17

Элементарное введение в -исчисление

Введение.

-Исчисление представляет собой формальную систему, базирующуюся на предложенной А. Черчем идее -нотации функций. При определении функций с помощью выражений, определяющих их значения, аргументы традиционно записывались в той же нотации, которая использовалась и для вызова значения определяемой функции для фактических значений ее аргументов, т.е. либо в скобочной функциональной нотации, либо в бесскобочной нотации, обычно, префиксной. Примеры таких традиционных определений: . В качестве альтернативы А. Черч предложил нотацию, в которой в левой части определения указывается только имя определяемой функции, а список ее аргументов перенесен в правую часть определения. Для приведенных выше примеров это выглядит так: . -нотация позволяет также отказаться от рассмотрения функций арности : предполагается, что такая функция имеет единственный аргумент, а ее значением, в свою очередь, является функция аргументов: , причем при единственном аргументе отпадает необходимость и в использовании разделяющей точки (если символы переменных представляют собой неделимые языковые конструкции). -Нотация функций естественным образом решает вопрос о подстановке определений функции вместо вызовов для вычисления ее значений с конкретными значениями параметров, позволяя рассматривать операцию применения функции к аргументу (аппликацию) как обычную связку. Нетрудно заметить, что -операция функциональной абстракции в конструкции имеет явные черты оператора, связывающего операторную переменную в выражении , описывающем значение конструируемой функции. Как будет видно из дальнейшего, язык, построенный с применением единственной бинарной связки (аппликации) и единственного -оператора (при наличии потенциально бесконечного множества различных переменных), может играть роль универсальной формальной модели вычислимости, обладая при этом новыми интересными особенностями, не присущими традиционным моделям – теории частично-рекурсивных функций и различным математическим уточнениям понятия алгоритма. Базирующаяся на -исчислении теория комбинаторов выглядит еще более «фундаментальной», сохраняя черты универсальности при большей синтаксической простоте.

1. - Термы.

Для построения -термов (далее просто термов, сорт объектов ) необходимо счетное множество переменных, для чего конструируются натуральные числа (вспомогательный сорт объектов ).

Для построения натуральных чисел используются два конструктора: и , а для построения термов - три конструктора: , и .

Далее будет использоваться обычное для описания -исчисления представление:

Название конструкции	Конструкция объекта	Представление
Номер переменной
		Представление числа в десятичной системе счисления
Терм - переменная
Терм - аппликация
Функциональный терм

Для некоторых доказательств мы будем пользоваться понятием -контекста (сорт объектов ); для построения контекстов дополнительно вводится нульарный конструктор . Порождаемый им элементарный контекст будем представлять «дыркой» - символом . Для простоты при построении других контекстов будем использовать те же конструкторы и , что и для построения термов, причем с сохранением представления: , , . Если - контекст, а - терм, то будет обозначать терм, полученный заменой в единственного символа  на терм . Если и - контексты, то обозначает контекст, полученный заменой в контексте единственного символа  на контекст .

Вхождением терма в терм называется пара , такая, что . Различные вхождения одного и того же терма в один и тот же терм отличаются вторыми компонентами соответствующих пар, т.е. контекстами вхождений.

На множестве термов определена функция : называется множеством свободных переменных терма и определяется индуктивно по конструкции терма :

Иными словами, свободной переменной терма называется терм-переменная (или, просто, переменная), имеющая в него хотя бы одно свободное вхождение, т. е.

.

Введем операцию подстановки: .

назовем результатом подстановки терма в терм вместо свободных вхождений переменной и определим его индуктивно по конструкции терма :

Случай , пока остается не определенным.