6.3.Меншікті функциялар және операторлардың меншікті мәндері.

(8)теңдеудегі меншікті функциялар және оператордың меншікті мәндері үшін теңдеуі деп аталады. Мұндағы - оператор, а- сан ( жалпыжағдайдағы комплекс -функция). Егер функция функциясы үшін қойылатын стандартты талапты қанағаттандыратын болса онда бұл функция ( ) функция оператордың меншікті функциясы, а-оның меншікті мәні деп аталады.Функцияның барлық меншікті мәнің жиынтығы оператор спектрі деп аталады. Операторлар спектрінің келесідей түрлері болуы мүмкін:1) дискретті (үздікті) 2) үздіксіз 3) аралас

6.4.Өздік түйіндес операторлар.

- операторы өзара түйіндес оператордың қосындысы өзара түйіндес операторы болып табылады. Кванттық механикада меншікті мәндері болатын өзара түйіндес операторлар қолданылады.Мыс: (7) шартты қанағаттандыратын функциясы (9) өрнекке орнына қояық. Сондa: ,

Сонда , , (10), (10) өрнектен (7) шарттарды қанағаттандыратын меншікті функцияның меншікті мәндері нақты сандар екендігін көреміз. Эриметті оператордың меншікті функциясы жұп-жұбымен ортаганальді болады. Мысалы: және функциясы - операторының меншікті функциясы болсын, ал және меншікті мәндері болсын онда , (7) теңдікке сәйкес (11) функциясын (9) теңдікке функцияның орнына қояық . Сонда, . , Сонда , (12)

(12) өрнектен және функциясы өзара ортадогональді екендігі көрінеді, яғни

(13) Эрмитті оператордың маңызды ерекшелігі: меншікті мәндерінің жүйесі тек нақты сандар ғана емес сонымен қатар толық жүйе құрайды, сондықтан кванттық механикада қолданылады.

7.1.Кванттық механиканың математикалық аппараттары. Операторлар және физикалық шамалардың рұқсат етілген мәндері. Әрбір фундементалды физикалық теориялардың өзінің ерекшелігіне сәйкес қолданылатын математикалық амалдар жиынтығы болады, яғни математикалық аппараттары болады.Мыс, классикалық механиканың классикалық аппараттары векторлар және дифференциялдық теңдеулер.Ал классикалық электродинамиканың математикалық аппараты векторлық анализ.Кванттық механиканың математикалық аппараттары сызықты өзара түйіндес болып табылады. Кванттық механиканың математикалық аппараттарын қолдану бірнеше пастулаттарға айналған тұжырымдарға негізделеді.Осы пастулаттардың көмегімен нақты есеп шығарылады.

7,1.2

Микробөлшектер жүйесінің энергиясы нақты мәндер қабылдайды яғни квантталады.Яғни энергия және басқа кейбір физикалық шамалар үшін нақты сандар мен векторлар қолданылады.Физикалық шама мен оның математикалық моделі арасындағы байланыс келесі постулаттармен анықталады. Кванттық механикада негізгі физикалық шамаларға сызықтық өзара түйіндес операторлар теңгеріледі.Мұндай операторлар әдетте сол шаманың белгілену әрпімен сәйкес беріледі.Кванттық операторларға координата операторы және импульс операторы жатады.Координата операторы осы айнымалыға көбейту болып табылады. =x

Импульс оның Х осіне проекциясы өрнекпен сипатталады (1)

Басқа физикалық шамалардың операторларын классикалық және кванттық механика арасындағы сәйкестік принципінің ережесіне сүйене отырып анықтауға болады.Физикалық шамалардың арасындағы қатынас классикалық формадағы осы шамалардың арасындағы қатынастай анықталады. Мыс, Осы ережеге сүйене отырып келесідей физикалық шамалардың операторлары үшін өрнектерін жазайық.

1)Радиус вектор =

2)Импульс операторы

3)Импульс моментінің операторы

4)Кинететикалық энергияның операторы

5)Потенциялдық энергия

6)Толық механикалық энергия

Толық энергия операторы (Кванттық механикадан белгілі)- Гамельтон операторы немесе Гамельтониян деп аталады.ол Н символымен белгіленеді.Гамельтон операторы кванттық механиканың негізгі теңдеуі Шредингер теңдеуіне енеді және маңызды рөл атқарады.Операторлар мен физикалық шамаларды өлшеу кезінде алынған мәндер арасындағы байланыс келесі постулатпен анықталады.Физикалық шама тек өзінің операторының меншікті мәндері сәйкес келетін мәндерді ғана қабылдайды.Импульс операторы және басқада шамалардың операторлары бөлшектің қасиетіне және қозғалыс болып жатқан жағдайдың физикалық шарттарына тәуелді болмайды.Сондықтан бұл операторларының спектрі бір мән болады бірақ Гамельтон операторы және оның меншікті мәні әртүрлі бөлшектер үшін әртүрлі және бқлшекке әсер ететін күштік өріске тәуелді болады.

7.2.

Күй толқындық функцияға қатысты кванттық механикада келесідей постулат айтылады:

Кванттық жүйенің күйін толық сипаттау оның күйіне сәйкес келетін толқындық функцияның көмегімсен іске асады.

Микро жүйенің нақты әрбір жағдайы үшін және оның сыртқы нысандармен әсерлесуін анықтайтын күй функциясы келесі постулатпен анықталады:

Кванттық механикада негізгі теңдеу болып Шрединдер теңдеуі анықталады. Ол былайша жазылады:

7.3.

Кванттық жүйенің күйі толқындық функциямен анықталады, бірақ, толқындық функция жүнйе қандай физикалық шамалардың мәндерімен сипатталатындығын анықтай алмайды. Сондықтан шамалар нақты мәнге ие болмайды деп аталады. Бірақ кванттық жүйенің күйін сипаттайтын физикалық шаманың ықтимал мәндерін теориялық жолмен алдын ала есептеуге мүмкіндік беріп отырады. Ол келесі постулатпен анықталады:

Өлшеу кезінде А физикалық шаманың мәні алынатындығының ықтималдығы толқынық функцияны қатарға жіктегенде функцияның сәйкес (мәндерінің ) коэфиценттінің модульдерінің квадратына тең немесе осы физикалық шаманың операторының меншікті функциялары бойынша интегралына тең болады. Айталық,  бөлшегінің толқындық функциясы болсын, онда, ізделініп жатқан ықтималдықты анықтау ушін оны келесі қатар бойынша жазайық:  (8)

операторының меншікті функциясы, ол дискретті мәндер спектрін қабылдасын, олай болса жоғарыдағы постулатқа сәйкес мәнінің алыну ықтималдығы: = ² (9)

Егер толқындық функция спектрі үздіксіз болса, онда ол Фурье интегралына жіктеледі. Егер 𝛗(a_i) меншіктіфункция болса:  = (10)

7.4.

Функцияның меншікті мәні нақты мәнге ие болмаған жағдайда шаманың орташа мәні есептелінеді, ол үшін шаманы мүмкіндігінше көп өлшеп оның арифметикалық ортасын табады.

Егер, а_і операторының меншікті мәні болса, онда ықтималдықтар теориясы бойынша ықтималдықтарды былай анықтайды: = (11)

Олай болса (9) өрнекті пайдаланып, орташа мәндерді былай есептеуге болады : (12)

Мұндағы ,- толқындық функция

_і - оның меншікті фукциясы

Олай болса,6*3 лекцияның (8) өрнегіне сәйкес (*)

Өрнекті ескерсек

- операторының сызықты екендігін ескеріп, (**)

Теңдігін пайдалансақ Сонда, (X) (13)

Егер екендігін ескерсек онда (13) өрнек = a_i (14) және физикалық шаманың операторы берілсін. Оның меншікті функциясы мен меншікті мәні туралы анықтаманы қолданып,

(15)

және арасындағы байланысты тағайындайық. Ол үшін (15) өрнектің (1)теңдеуінің екі жағынада операторын, ал екінші жағына операторының әсерін тигізейік. a

,

1. Тұрақты

(16)

(16)теңдеулер жүйесінен көріп тұрғандай және операторлары өзара коммутация жасайды.

Сонымен, егер операторлар бір-біріне комутация жасаса сәйкес шамалардың дәл мәніне бір мезгілде өлшеу мүмкіндігі болады.

Коммутативті қасиет транзитивті емес, оператор және операторының екуіне де коммутация жасағанымен және операторы өзара коммутация жасауға міндетті емес.

=