2. Уравнение теплопроводности в задаче о неравномерном и нестационарном нагреве стержня

Предложен единый алгоритм решения одномерных нестационарных задач теплопроводности в телах простой геометрической формы с внутренними источниками энергии различной природы.

Рассматриваемые тела могут иметь форму пластины, стержня (ребра), сплошного или полого цилиндров и шара. В основе решения поставленной задачи лежат обобщенная формулировка неоднородного дифференциального уравнения нестационарной теплопроводности в частных производных для тел указанной формы и метод интегральных преобразований в конечных пределах.

Процедура решения конкретной краевой задачи предусматривает наличие математической модели, но не требует интегрирования дифференциального уравнения теплопроводности.

Приведен пример определения температурного поля в пластине с неравномерно распределенными источниками теплоты и разными условиями теплообмена на граничных поверхностях.

Решения задач рассматриваемого типа удобно, в частности, использовать для тестирования сложных программ расчета температурного поля теплонагруженных элементов конструкции, анализа их теплового режима на начальной стадии проектирования и обоснования выбираемых допущений. 

2.1 Уравнение теплопроводности в стержне.

Рассмотрим тонкий изолированный (покрытый тепловой изоляцией) стержень, лежащий на отрезке   оси   (рис. 124). Предполагается, что его физические свойства в точках любого его сечения одинаковы. Температура стержня есть функция

от абсциссы   сечения и времени  .

Функция   удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных, рассмотрим уравнение 1.

Уравнение 1:

, где   - константа, если предположить, что теплоемкость и теплопроводность стержня не зависят от  .

Поставим задачу: найти функцию  , непрерывную для  , имеющую непрерывные частные производные   и  для  , удовлетворяющую дифференциальному уравнению 1 для  , и следующим условиям:

Уравнение 2

,     (2)                               

где   - заданная на отрезке   непрерывная функция;

Уравнение 3

.       (3)                        

Таким образом, предполагается, что в начальный момент времени   температура в стержне выражается функцией  , а на протяжении всего времени опыта на концах стержня искусственно поддерживается температура нуль.

Уравнение 1 будем решать методом Фурье разделения переменных. Суть его заключается в том, что мы отыскиваем частные решения уравнения (1), удовлетворяющие пока только краевым условиям(3), в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одного переменного:

Уравнение 4:

.         (4)                                           

При этом мы ищем нетривиальные решения, т. е. тождественно не равные нулю. Из(4) имеем:

.

Подставляя эти выражения в Уравнение 1, получаем

.  (5)

В (5) левая часть не зависит от  , а правая – от  , поэтому

, (6)

где   - некоторая постоянная.

Таким образом, функция   и   удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям

,   (7)

,  (8)

где   - некоторая постоянная.

Так как мы ищем решения, удовлетворяющие условиям (3), то при всех   должны выполняться равенства

.

Если предположить, что  , то   для всех   и  . Поэтому имеется хотя бы одно  , для которого  . Но тогда

.  (9)

Мы пришли к следующей задаче. Требуется найти такие числа  , для которых дифференциальное уравнение (7) имеет нетривиальное (не равное тождественно нулю) решение на отрезке  , удовлетворяющее граничным условиям (9).

Задача эта называется проблемой Штурма-Лиувилля для уравнения (7) на отрезке   при граничных условиях (9). Искомые числа   называются собственными значениями задачи Штурма-Лиувилля, а соответствующие нетривиальные функция, удовлетворяющие граничным условиям (9), называются собственными функциями, соответствующими этим значениям.

Будем искать решение поставленной задачи среди положительных чисел  . В этом случае числа   являются корнями характеристического уравнения, поэтому общее решение уравнения (7) запишется так:

.

Из (9) находим

     или        

Чтобы получить решение, тождественно не равное нулю, нужно считать   и  . Последнее возможно только при натуральных  .Каждому   соответствует решение

,

удовлетворяющее, очевидно, граничным условиям (9). Это нетривиальное (тождественно не равное нулю) решение уравнения (7). Итак, числа

суть собственные значения поставленной выше краевой задачи (проблемы Штурма-Лиувидля), а функции

при любом   - соответствующие этим значениям собственные функции.

Мы нашли все собственные значения и собственные функции поставленной задачи Штурма-Лиувилля, потому что при любом   дифференциальное уравнение (7) имеет только тривиальное (тождественно равное нулю) решение, удовлетворяющее условиям  .