Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Кубанский государственный технологический университет»

(ФГБОУ ВПО «КубГТУ»)

Институт нефти, газа и энергетики

Реферат

По дисциплине «Математическое моделирование в задачах нефтегазовой отрасли. Методы математической физики»

на тему: «Уравнение теплопроводности в задаче о неравномерном и нестационарном нагреве стержня»

«Классификация дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка»

«МКЭ для уравнения Пуассона»

Выполнил

Студент 1-го курса МИППС

Новак Михаил Юрьевич

Направление: 21.04.01

Группа НД6

Шифр зачетки № 16-ЗНМ-264

Проверил:_________________

Краснодар 2017

Содержание............................................................................................................. 2

Введение……………...............................................................................................3

1. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.......................................................................................................4

1.1 Примеры приведения уравнений второго порядка к каноническому

виду...........................................................................................................................5

1.1.1 Пример 1 Случай линейной замены переменных в уравнении гиперболического типа.........................................................................................................5

1.1.2 Пример 2 Случай линейной замены переменных в уравнении эллиптического типа.............................................................................................................6

2. Уравнение теплопроводности в задаче о неравномерном и нестационарном нагреве стержня.......................................................................................................9

2.1 Уравнение теплопроводности в стержне........................................................9

3. МКЭ для уравнения Пуассона..........................................................................13

3.1 Решение Уравнения Пуассона........................................................................14

Выводы...................................................................................................................18

Список литературы................................................................................................19

Введение

В данной работе будут рассмотрены следующие вопросы:

1) «Классификация дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка»

2) «Уравнение теплопроводности в задаче о неравномерном и нестационарном нагреве стержня»

3) «МКЭ для уравнения Пуассона»

По всем трем рассматриваемым вопросам будут изложены примеры применения.

1. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. В математической физике при рассмотрении задач, связанных с решением уравнений в частных производных второго порядка, всегда концентрируются на анализе некоторых основных уравнений: Пуассона, теплопроводности, волнового уравнения. Связано это с возможностью приведения уравнений второго порядка к т.н. каноническому виду, а именно к тем самым перечисленным только что уравнениям. Рассмотрим уравнение второго порядка общего вида (уравнение №1):

у равнение№1: где  . При этом будем считать без ограничения общности, что матрица коэффициентов симметрическая, т.е.  (это фактически требование независимости смешанных производных от порядка дифференцирования). Далее будем называть эту матрицу матрицей старшихкоэффициентов.

С трого говоря, одно и то же уравнение в различных точках может относиться к разным типам классификации. Пример будет приведён позже.  В связи с этим замечанием будем говорить о матрице старших коэффициентов в определённой точке. Считаем, что матрица старших коэффициентов представляетсобой матрицу некоторой квадратичной формы. Эту форму можно привести к нормальному виду, т.е. диагональному виду с коэффициентами, равными по модулюнулю или единице. Напомним, что число положительных коэффициентов называется положительным индексом инерции квадратичной формы, число отрицательных коэффициентов – отрицательным индексом формы, а число нулевых коэффициентов – дефектом формы. Уравнения можно классифицировать при помощи этих трёх чисел, которые и будем указывать в порядке их перечисления: .Сумма этих трёх чисел равна количеству независимых переменных.  При этом ясно, что умножение всего уравнения на минус единицу приведёт к тому, что все элементы матрицы старших коэффициентов поменяют знак. Следовательно, положительный и отрицательный индексы соответствующей формы поменяются ролями . Таким образом, уравнения  и  принадлежат к одному типу классификации. Перечислим основные классы уравнений:  - гиперболическое  - параболическое  - эллиптическое  - ультрагиперболическое  - эллиптико-параболическое Последние два типа уравнений в стандартных курсах не обсуждаются. Словесно эту классификацию можно сформулировать следующим образом. Уравнение гиперболическое, если дефект соответствующей квадратичной формы равен нулю, а один из индексов равен единице. Уравнение параболическое, если его форма имеет равный единице дефект и все коэффициенты одного знака.  Уравнение эллиптическое, если дефект его формы равен нулю и все коэффициенты имеют одинаковый знак.

1.1 Примеры приведения уравнений второго порядка к каноническому виду 1.1.1 Пример 1. Случай линейной замены переменных в уравнении гиперболического типа:

Составляем характеристическое уравнение: . Исходное уравнение, таким образом, относится к гиперболическому типу. Находим общие интегралы найденных уравнений: . Вводим замену  . Преобразуем производные. В данном случае можно считать, что функция   зависит от переменных  ,  которые в свою очередь зависят от старых переменных  : . После подстановки этих производных в исходное уравнение получим . Пример 2. Случай линейной замены переменных в уравнении эллиптического типа. Составляем характеристическое уравнение: .

Исходное уравнение, таким образом, относится к эллиптическому типу. Находим общий интеграл любого из найденных уравнений: . Вводим замену  . Преобразуем производные совершенно аналогично тому, как это делалось в примере 1. После подстановки этих производных в исходное уравнение получим .

Большая часть всех уравнений в частных производных 2^го порядка, линейных относительно вторых производных являются представителями 3^х различных классов уравнений, которые существенно отличаются друг от друга по методам исследования и по физической природе (описывают различные физические явления).

Остановимся более подробно на случае 2^х независимых переменных:  u = u(x,y).

a,b,c - функции, определенные в некоторой области Ω = Oxy и имеющие непрерывные производные до 2^го порядка.

f - непрерывная функция своих аргументов; если f - линейная относительно u, u_x , u_y, то уравнение (1) - линейное.Поставим перед собой задачу: с помощью замены независимых переменных (x, y) привести уравнение (1) к наиболее простому виду.

Введем новые переменные:      ,     и потребуем, чтобы они были дважды непрерывно-дифференцируемы и чтобы якобиан перехода:

 в области Ω.

Преобразуем производные к новым переменным:

Тогда уравнение (1) в новых переменных примет вид:

    где

Попытаемся выбрать ξ(x, y) и η(x, y) так, чтобы обратить в нуль некоторые из коэффициентов A,B,C.

Вопрос об обращении A и С в нуль эквивалентен вопросу о разрешимости дифференциального уравнения 1^го порядка.

   относительно неизвестной функции z(x, y).

П оделим на z_y²:

Р ешим как квадратное уравнение относительно  :

    

Решая каждое из них методом характеристик:

               - интегралы системы (*), а, следовательно, решения уравнения (4).

У равнения (5) могут быть записаны в виде одного уравнения:

Обычно это уравнение и используют для определения интегралов системы (5). Поведение функций φ(x, y) и ψ(x, y), а, следовательно, и искомый простейший вид исходного уравнения зависит от знака