2.2. Модели тренда и методы его выделения из временного ряда
Аналитическое
выравнивание предполагает представление
уровней данного ряда динамики в виде
функции времени
,
называемой адекватной
формулой ряда
динамики или аналитическое
выражение тренда.
Подбор адекватной математической функции, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию ряда динамики, осуществляется методом наименьших квадратов – минимальностью отклонений суммы квадратов между теоретическими yti и эмпирическими yi уровнями:
Важнейшей проблемой является подбор математической функции, по которой рассчитываются теоретические уровни тренда.
В практике статистического изучения тренда различают следующие эталонные типы развития социально-экономических явлений во времени:
1. равномерное развитие:
Для этого типа динамики присущи постоянные абсолютные приросты.
Основная тенденция развития отображается уравнением прямолинейной функции.
,
где a0
,
a1
– параметры уравнения.
Рисунок 2.1. Равномерное развитие
a0 – начальный уровень тренда, a1 среднегодовой абсолютный прирост
Линейный тренд хорошо отражает тенденцию изменений при действии множества разнообразных факторов. Равнодействующая этих факторов при взаимном погашении особенностей отдельных факторов (ускорение, замедление, нелинейность) часто выражается в примерно постоянной абсолютной скорости изменения, т.е. в прямолинейном тренде.
2. Равноускоренное (равнозамедленное) развитие:
Уравнением такого развития является парабола:
где
значения параметров уравнения a0
,
a1
– аналогичны предыдущему случаю, a2
– характеризует постоянное изменение
интенсивности развития (1/2 ускорения).
При a2>0
– ускорение
развития,
a2<0
– замедление
роста. Для этого также характерно
.
Рисунок 2.2. Равноускоренное развитие
Такое развитие бывает при наличии важных факторов прогрессивного (прогрессирующее поступление нового высокопроизводительного оборудования, увеличение среднесуточного прироста живого веса поросят с возрастом) или регрессивного (производство устаревшей продукции, ликвидируемой отрасли сельского хозяйства на предприятии) развития. Ускоренное возрастание может происходить в период после снятия каких-то сдерживающих развитие преград – ограничений в распределении дохода, в уровне оплаты труда, при повышении цены реализации на дефицитную продукцию.
3. Развитие с переменным ускорением (замедлением):
Уравнением такого развития является кубическая парабола:
Рисунок 2.3. Развитие с переменным ускорением
a3 – отображает изменение ускорения. При a3>0 – ускорение возрастает, a3<0 – ускорение замедляется.
Развитие по экспоненте:
Для такого развития характерно постоянство темпов роста
a1
= Tp
– темп изменения в разах.
Рисунок 2.4. Развитие по экспоненте
При a1>1 – тенденция ускоренного и все более ускоряющегося развития. Такой характер свойственен, например, размножению организмов при отсутствии ограничения со стороны среды: кормов, пространства, хищников, болезней. Так росло население в эпоху демографического взрыва в ХХ столетия. При a1<1 тенденция постоянно все более замедляющегося роста уровней динамического ряда. Такая тенденция может быть присуща динамике трудоемкости продукции, удельных затрат топлива, металла на единицу полезного эффекта при технологическом прогрессе.
Развитие с замедлением роста в конце периода:
Для
этого ряда характерно
Рисунок 2.5. Развитие с замедлением роста в конце периода
Применяется для отображения тенденции замедляющегося роста уровней при отсутствии предельно возможного значения.
Степенная кривая:
Уравнение степенной зависимости имеет вид:
Это уравнение также называют кривой с постоянной эластичностью
Рисунок 2.6. Степенная кривая
Степенная кривая хорошо аппроксимирует показатели, непрерывно возрастающие со временем при положительном а1 или убывающие при а1 отрицательном.
7. Функция гиперболы:
Уравнение гиперболы имеет вид:
Рисунок 2.7. Гипербола
Такая кривая может применяться для выравнивания и прогнозирования показателя, который с течением времени падает до некоторого отличного от нуля уровня. Эти функции применяются также при изучении тенденции неудовлетворенного и реализованного спроса. Гиперболическая форма трена подходит для отображения тенденции, процессов, ограниченных предельным значением уровня (предельным КПД двигателя, пределом 100% грамотности населения и т.п.).
При прогнозировании тренд используют в первую очередь для долговременных прогнозов. Точность краткосрочных прогнозов, основанных только на подобранной кривой тренда, как правило, недостаточна.
Для оценки и удаления трендов из временных рядов чаще всего используется метод наименьших квадратов. Этот метод достаточно подробно рассматривался во втором разделе пособия в задачах линейного регрессионного анализа. Значения временного ряда рассматривают как отклик (зависимую переменную), а время t – как фактор, влияющий на отклик (независимую переменную).
Для временных рядов характерна взаимная зависимость его членов (по крайней мере, не далеко отстоящих по времени) и это является существенным отличием от обычного регрессионного анализа, для которого все наблюдения предполагаются независимыми. Тем не менее, оценки тренда и в этих условиях обычно оказываются разумными, если выбрана адекватная модель тренда и если среди наблюдений нет больших выбросов. Упомянутые выше нарушения ограничений регрессионного анализа сказываются не столько на значениях оценок, сколько на их статистических свойствах. Так, при наличии заметной зависимости между членами временного ряда оценки дисперсии, основанные на остаточной сумме квадратов (2.3), дают неправильные результаты. Неправильными оказываются и доверительные интервалы для коэффициентов модели, и т.д. В лучшем случае их можно рассматривать как очень приближенные.
Это положение может быть частично исправлено, если применять модифицированные алгоритмы метода наименьших квадратов, такие как взвешенный метод наименьших квадратов. Однако для этих методов требуется дополнительная информация о том, как меняется дисперсия наблюдений или их корреляция. Если же такая информация недоступна, исследователям приходится применять классический метод наименьших квадратов, несмотря на указанные недостатки.