4.3. Многономенклатурные модели

Складские системы промышленных предприятий содержат от нескольких десятков до нескольких тысяч номенклатур. Следовательно, возникает необходимость рассмотрения задач управления многономенклатурными запасами. Многие специалисты придерживаются мнения, что оптимизация должна проводиться лишь по 5-10% номенклатур, суммарная потребность в которых в стоимостном выражении составляет 60-70% .

4.3.1. Раздельная оптимизация.

При отсутствии взаимодействия между запасами различных видов продукции затраты L в единицу времени для системы, включающей N видов хранимой продукции вычисляются по формуле

Откуда, используя необходимый признак экстремума, находим

Минимальные издержки в единицу времени составляют

Пусть общая складская площадь ограничена величиной f. Ограничение на складские площади имеет вид:

где f_i - площадь, необходимая для хранения единицы i-гo вида продукции, q_i - величина партии i-го вида продукции.

В последней формуле обычно вводится нормировочный множитель h для учета того фактора, что запасы отдельных номенклатур могут поступать независимо друг от друга. Если запасы всех номенклатур пополняются одновременно, то в это время запас и занятая им площадь оказываются максимальными и h = 1. Полагая h = 1/2, допускаем, что запасы всех видов продукции пополняются в разное время, а уровень запасов и занятая ими площадь являются средними. Маловероятно, что занятая площадь окажется много меньше половины имеющейся, поэтому 1/2 <= h <= 1. С учетом сказанного ограничение по площадям запишется так:

Для определения экстремума функции L при наличии ограничения по площадям применим метод множителей Лагранжа, рассмотренный нами ранее в другой лабораторной работе. Составим функцию Лагранжа, которая состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое - это функция, экстремальное (максимальное или минимальное) значение которой необходимо определить. В нашей задаче это суммарные издержки в единицу времени, которые надо минимизировать. Второе слагаемое — это разность между левой и правой частью ограничивающего условия, умноженная на неопределенный множитель , которому можно придать любое произвольное значение. Если ограничение выполняется или является несущественным, то разность (hf_iq_i-f)hq_if_i-f отрицательная величина, а = 0. Возможны два случая:

Это обеспечивает возможность составления функции Лагранжа. Поскольку выражение (hf_iq_i-f) hq_if_i-f) в любом случае равно нулю (т.е. является равенством) , то функция суммарных затрат в единицу времени будет иметь вид

Продифференцируем эту функцию по неизвестным параметрам q_i и  и приравняем частные производные к нулю

Откуда выводим систему из N + 1 нелинейного уравнения с N + 1 неизвестной q₁, ... q_n, 

Оптимальные партии поставок из этой системы нелинейных уравнений можно найти, применяя инструмент "Поиск решения", правила использования которого были рассмотрены в предыдущей лабораторной работе. Для этого одно из уравнений объявляется целевой функцией, а остальные N уравнений – ограничениями.

Неопределенный множитель Лагранжа в данном случае имеет конкретный экономический смысл. Он показывает, насколько можно сократить минимальные издержки функционирования системы в единицу времени, увеличив складские площади на единицу.

Аналогично решается задача, если ограничения накладываются на величину оборотных средств А, вложенных в запасы. Пусть _i, - стоимость единицы материала i-гo вида, тогда ограничение имеет вид:

Пропуская математические выкладки, запишем систему для решения задачи

Неопределенный множитель Лагранжа в этой модели показывает, на сколько денежных единиц уменьшатся затраты в системе, если оборотные средства увеличатся на одну денежную единицу. Отметим, что в задаче одновременно могут быть ограничения как по складским площадям, так и по оборотным средствам.

4.2.2. Полное совмещение заказов.

При пополнении запасов из одного источника часто несколько заказов объединяются. Суммарные издержки размещения N заказов считают равными К₀(1 + N), где К₀ - фиксированные издержки, не зависящие от числа номенклатур, а  (0 <  < 1) - доля издержек заказывания, связанная с размещением заказа по каждой номенклатуре. Период размещения заказа по всем номенклатурам будет общим. Обозначим его через . Издержки размещения заказов и содержание запасов в единицу времени

Отсюда

,

Часто необходимо бывает минимизировать суммарные издержки при различных ограничениях. Пусть, например, площадь склада равна f, а единица i-гo вида продукции требует для хранения f_i (i = 1, N) квадратных метров. С учетом того, что q_i=v_i , ограничение по складским площадям имеет вид

Ограничение по оборотным средствам

В случае одного ограничения задача решается по следующей схеме. Определяется ₀. Если оно удовлетворяет ограничению, то * = ₀. Если ₀ не удовлетворяет ограничению, то * должно превратить последние два ограничения в строгие равенства, тогда оптимальный период возобновления поставок для ограничения по площади

для ограничения по оборотным средствам

Оптимальный поставочный комплект

,

Контрольные вопросы.

1. Что является предметом изучения в теории управления запасами?

2. Какие виды затрат могут оказать влияние на выбор решения по управлению запасами?

3. Что называется циклом при моделировании запасов?

4. Описать однономенклатурную бездефицитную модель управления запасами с мгновенным выполнением заказа.

5. Описать однономенклатурную бездефицитную модель управления запасами с конечной интенсивностью поступления заказа.

6. Описать однономенклатурную модель управления запасами с возможным дефицитом поставок.

7. Как учесть реальное время выполнения заказа на поставку? От чего оно зависит?

8. Что такое многономенклатурные модели управления запасами и каковы их главные отличия от однономенклатурных моделей?

9. Какие ограничения могут налагаться в моделях управления запасами? Приведите примеры.

10. Какие методы оптимизации параметров моделей управления запасами с ограничениями вы можете назвать.