4.2. Однономенклатурные модели

Простейшая модель оптимальной партии поставки строится при следующих предположениях: спрос v в единицу времени является постоянным; заказанная партия доставляется одновременно; дефицит недопустим; затраты К на организацию поставки постоянны и не зависят от величины q партии; издержки содержания единицы продукции в течение единицы времени составляют s. На рисунке 4.1. показана динамика изменения уровня запасов I

Рисунок 4.1. Простая однономенклатурная модель.

.

Уровень запаса снижается равномерно от q до 0, после чего подается заказ на доставку новой партии величиной q. Заказ выполняется мгновенно и уровень запаса восстанавливается до величины q. Интервал времени длиной  между поставками называют циклом. Издержки L_ц в течение цикла состоят из стоимости заказа К и затрат на содержание запаса, которые пропорциональны средней величине запаса Iср=q/2 и длине цикла =q/v

Разделив это выражение на длину цикла, получим издержки в единицу времени

Оптимальный размер партии, минимизирующий издержки, определяется из уравнения

(необходимый признак экстремума). Отсюда находится оптимальный размер q* партии:

Так как d²L/dq², > 0 (достаточный признак экстремума), то для всех q > 0 последнего выражения является минимумом функции затрат L. Последнее уравнение известно под многими названиями. Его называют формулой наиболее экономной величины заказа, формулой Уилсона, формулой квадратного корня. Чтобы найти оптимальные параметры работы системы, подставляем значение q* в соответствующие выражения. Получаем, что оптимальная стратегия предусматривает заказ q* через каждые

единиц времени. Наименьшие суммарные издержки работы системы в единицу времени

Пример 1. Жидкие продукты нескольких видов разливаются в пакеты на одной линии упаковки. Затраты на подготовительно-заключительные операции составляют 700 ден. ед., потребность в продуктах составляет 140000 л в месяц, стоимость хранения 1 л в течение месяца - 4 ден. ед. Определить оптимальные параметры функционирования системы с точки зрения модели управления запасами. Сравнить минимальные затраты с затратами при действующей системе разлива одного продукта в течение трех дней.

Решение. Оптимальные параметры модели Уилсона:

При действующей системе _д = 3(дня) = 0,1 (месяца), q_д = _д*v = 14000 (литров). Величину затрат при действующей системе найдем по формуле L= 700*140000/14000+4*14000/2= 35000 (ден. ед.).

4.2.1. Модель с конечной интенсивностью поступления заказа.

Пусть заказанная партия поступает с интенсивностью  единиц в единицу времени. Очевидно, система может работать без дефицита, если интенсивность поставок  превосходит интенсивность потребления v. Таким образом, рассматривается система типа заводского склада, куда продукция, произведенная одним цехом, поступает с определенной интенсивностью и используется в производстве другого цеха. Изменение уровня запаса для рассматриваемого случая изображено на первом из двух рисунков. В течение времени ₁ запас одновременно и поступает и расходуется, это время накопления запаса. В течение ₂ запас только расходуется. Длина цикла  = ₁+₂

Учитывая, что максимальный наличный запас I_м= q(l - v/)издержки системы в единицу времени составят

Рисунок 4.2 Модель с конечной интенсивностью заказа

Оптимальные параметры работы системы определяются обычным образом. Величина оптимальной партии

оптимальный период возобновления заказа

и его составляющие

минимальные издержки в единицу времени

В случае, когда интенсивность поставки значительно больше интенсивности потребления v/ 0, а последние три уравнения становятся параметрами обычной системы Уилсона.