3. Задачи математического программирования

3.1.Основные типы линейных экономико-математических моделей

Программирование – это процесс распределения ресурсов. Математическое программирование – это использование математических методов и моделей для решения проблем программирования. Если цель исследования и ограничения на ресурсы можно выразить количественно в виде линейных взаимосвязей между переменными, то соответствующий раздел математического программирования называется линейным программированием.

Среди линейных моделей математического программирования особое место занимают четыре типа моделей:

1) модель общей задачи линейного программирования;

2) модель транспортной задачи линейного программирования;

3) модель распределительной задачи линейного программирования ;

4. модель задачи о назначениях линейного программирования.

Это разделение является достаточно условным, т.к. приемы решения всех этих задач схожи, особенно при использовании ЭВМ. Поэтому в дальнейшем не будем делать различий между ними, а ограничимся кратким указанием на тип задачи.

Модель общей задачи линейного программирования характеризуется следующими линейными соотношениями:

где f - целевая функция.

i;s - индексы видов ресурсов;

j - индекс видов продукции;

a_ij - норма расхода i-ro ресурса на производство единицы j-го продукта;

b_i - запас ресурса i-гo вида;

с_j - оценка переменных в целевой функции;

x_j - значения отыскиваемых переменных величин.

Методы линейного программирования применяют для решения задач на смеси, использования сырья, определения оптимального плана выпуска изделий, транспортной задачи, задачи о назначениях и ряда других. В каждой из них отыскивается оптимум линейной целевой функции при линейных ограничениях.

Понятие критерия оптимальности

Формулировка критериев для экономических систем является необходимой предпосылкой оптимизации плановых решений. В общем случае под критерием оптимальности понимается признак, на основании которого производится оценка, сравнение альтернатив, классификация объектов и явлений. Критерий оптимальности функционирования экономической системы - это один из возможных критериев (признаков) ее качества, а именно тот признак, по которому функционирование системы признается наилучшим из возможных вариантов ее функционирования. В сфере принятия экономических решений критерий оптимальности - это показатель, выражающий предельную меру экономического эффекта принимаемого хозяйственного решения для сравнительной оценки возможных решений выбора наилучшего из них. Наиболее часто используется максимум прибыли или минимум затрат, но могут быть и другие.

Критерий оптимальности обычно носит количественный характер и показывает, насколько один вариант лучше или хуже другого. Математической формой критерия оптимальности в экономико-математических моделях является целевая функция, экстремальное значение которой характеризует предельно допустимую эффективность деятельности моделируемого объекта.

Пример 1

Если финансы, оборудование, сырье и людей полагать ресурсами, то большинство задач в экономике можно рассматривать как задачи распределения ресурсов.

Требуется определить, в каком количестве надо выпускать продукцию четырех типов П1, П2, ПЗ, П4, для изготовления которой требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырье, финансы: Нормы расхода, а также прибыль, получаемая от реализации единицы каждого типа продукции, и наличие располагаемого ресурса приведены в таблице 3.1:

Таблица 3.1 – Исходные данные

Ресурс	П1	П2	ПЗ	П4	Наличие
Трудовые	1	1	1	1	16
Сырье	6	5	4	3	110
Финансы	4	6	10	13	100
Прибыль	60	70	120	130	-

1. Составление математический модели задачи.

Введем переменные X_j, - количество выпускаемой продукции j-го типа, j=1,4. Тогда модель задачи имеет вид:

2. Ввод условий задачи.

Шаг I. Вести исходные данные на рабочий лист (рисунок 3.1):

	A	B	C	D	E	F	G	H
1				Переменные
2	имя	XI	Х2	ХЗ	Х4
3	значение
4	нижнгр
5	верхн гр
6
7	коэф вЦФ	60	70	120	130		макс
8				Ограничения
9	вид					лев ч	знак	прав ч
10	трудовые	1	1	1	1		< =	16
11	сырье	6	5	4	3		< =	110
12	финансы	4	6	10	13		< =	100

Рисунок 3.1. Фрагмент рабочего окна с исходными данными задачи

Шаг 2. Ввод зависимостей из математической модели.

Чтобы получить значение целевой функции в ячейке F7, воспользуемся функцией СУММПРОИЗВ.

Для этого поместим курсор в ячейку F7, с помощью команды МАСТЕР ФУНКЦИЙ вызовем математическую функцию СУММПРОИЗВ. На экране появится диалоговое окно (рисунок) . В массив 1 ввести строку со значениями переменных, т.е. $В$3:$Е$3 (знак $ ставим для того, чтобы адрес не менялся при копировании формул). В массив 2 ввести адрес строки коэффициентов целевой функции, т.е. В7:Е7.

Заметим, что во все диалоговые окна адреса ячеек удобно вводить не с клавиатуры, а протаскивая мышь по ячейкам, чьи адреса следует ввести. Далее копируем формулу из ячейки F7 в столбец «Левые части ограничений», и если необходимо, корректируем ее.

Рисунок 3.2. Использование функции СУММПРОИЗВ

3. Решение задачи осуществляется в следующей последовательности.

Командой Поиск решения из меню Сервис откроем диалоговое окно Поиск решения и занесем в него необходимые данные:

Установить целевую функцию - адрес ячейки, отведенной под значение целевой функции,т.е. F7;

Равной - максимальному значению,

Изменяя ячейки - адреса изменяемых значений переменных, т.е. ВЗ:ЕЗ;

Ограничения - Добавить...

На экране появится диалоговое окно Добавление ограничения Здесь вводим граничные условия на переменные ВЗ:ЕЗ >= В4:Е4 Добавить

Вводим ограничения по ресурсам F10 <= Н10 Добавить

F11 < Н11 Добавить

F12 < H12 Добавить

Далее командой Параметры вызываем диалоговое окно Параметры и устанавливаем флажки Линейная модель, Неотрицательные значения, Автоматическое масштабирование. Возвращаемся в диалоговое окно Поиск решения и, щелкнув по кнопке Выполнить, находим оптимальное решение задачи На экране появляется диалоговое окно Результаты поиска решения.

4. Анализируем полученные результаты и заносим выводы на рабочий лист, сохраняем рабочую книгу и показываем результаты преподавателю.

Контрольные вопросы:

1. Понятие критерия оптимальности. Определения. Классификация.

2. Математические представления.

3. Сущность глобального и локального критериев оптимальности.

4. Глобальный и локальный критерии в одноуровневой модели и многоуровневых (иерархических) системах моделей.

5. Изложите суть стандартной задачи линейного программирования.

6. Изложите суть канонической задачи линейного программирования.

7. Что такое оптимальное решение?

8. Чем определяется область допустимых значений независимых переменных?

9. Что такое целевая функция? Каково ее назначение?

10. Объясните, почему оптимальные решения в задачах линейного программирования ищутся без применения производных.

11. Поясните геометрический смысл поиска оптимального решения в задачах линейного программирования.

12. Можете ли вы пояснить графически утверждение о том, что экстремальные значения функции цели находятся на границе области допустимых решений?

Задачи для самостоятельной работы.

Задача 1.

Изделия четырех типов проходят последовательную обработку на двух станках. Время обработки одного изделия каждого типа на каждом из станков приведено в таблице.

Станок	Время обработки одного изделия, ч
	Тип 1	Тип 2	Тип З	Тип 4
1	2	3	4	2
2	3	2	1	2

Затраты на производство одного изделия каждого типа определяются как величины, прямо пропорциональные времени использования станков (в машино-часах). Стоимость машино-часа составляет 10 и 15 долларов для станков 1 и 2, соответственно. Допустимое время использования станков для обработки изделий всех типов ограничено следующими значениями: 500 машино-часов для станка 1и 300 машино-часов для станка 2. Цены изделии типов 1,2,3,4 равны 65, 70, 55 и 45 долларов, соответственно. Составить план производства, максимизирующий чистую прибыль.

Задача 2.

Модель планирования оптимального объема рекламного бюджета

Фирма рекламирует свою продукцию с использованием четырех средств массовой информации: телевидения, радио, газет и афиш. Из данных прошлых периодов известно, что эти средства приводят к увеличению прибыли соответственно на 10, 3, 7 и 4 единицы в расчете на 1 единицу затраченных средств.

Распределение рекламного бюджета подчинено следующим ограничениям:

- полный бюджет не должен превосходить 500000 единиц;

- на телевидение следует расходовать не более 40 % бюджета;

- на радио целесообразно расходовать не менее половины той суммы, которая планируется на телевидение.

- на афиши следует расходовать не более 20 % бюджета.

Требуется распределить средства по различным источникам рекламы оптимальным образом.

Задача 3.

Ресторан, используя ресурсы А, В и С, реализует через сеть своих магазинов три вида собственной продукции. Для реализации одной партии продукции П1 требуется соответственно 10, 6, 26 ед. ресурсов А, В и С, продукции П2 - соответственно 30, 5, 40 ед. и продукции ПЗ – соответственно 25, 8, 32 единицы ресурсов А, В и С. Объемы имеющихся ресурсов составляют 4400 ед. ресурса А, 1180 ед. ресурса В и 6420 ед. ресурса С. Прибыль от реализации одной партии продукции П1, П2, ПЗ равна соответственно 60, 90, 80 денежных единиц. Определить план продажи продукции, обеспечивающий ресторану максимальную прибыль.

Задача 4.

В аптеке продаются поливитамины семи наименований: V1 - V7. Каждое наименование отличается от других разным количеством содержания витаминов А, В и С и ценой. Для прохождения профилактического курса требуется 100 ед. витамина А, 80 - витамина В и 120 ед. витамина С. Необходимое количество поливитамина покупается одновременно. Определить, какое количество поливитаминов каждого наименования следует приобрести для проведения курса лечения с минимальными суммарными затратами?

Исходные данные содержатся в таблице:

Витамины	Содержание витаминов в поливитаминах						, ед./г	Всего необхо
	V1	V2	V3	V4	V5	V6	V7	димо
А	5	0	2	0	3	1	2	100
В	3	1	5	0	2	0	1	80
С	1	0	3	1	2	0	6	120
Цена за 1 г,	4	1	5	6	3,5	7	4
тыс. руб.

Задача 5.

Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силы и оборудования, необходимыми для производства любого из четырех видов производимой продукции. Затраты ресурсов на изготовление единицы данною вида продукции, прибыль, а также запасы ресурсов указаны в следующей таблице:

Вид ресурсов	Вид продукции				Запас ресурсов
	1	2	3	4
Сырье, кг	3	5	2	4	60
Фонд рабочего времени, ч	22	14	18	30	400
Оборудование, станко-часы	10	14	8	16	128
Прибыль на единицу	30	25	56	48
продукции, тыс. руб

По государственному заказу, принятому предприятием, должно быть выпушено не менее 1 ед. продукции первого вида и 5 ед. - второго вида.

Необходимо определить, сколько продукции каждого вида надо выпускать, чтобы прибыль была максимальной. На какой вид продукции (первый или второй) выгоднее всего принимать дополнительный заказ?

Задача 6.

Небольшая фирма выпускает два типа автомобильных деталей (А и В) Для этого она закупает литье, подвергаемое токарной обработке, сверловке и шлифовке. Данные, характеризующие производительность станочного парка фирмы, приведены в таблице:

Станки	Деталь А, шт./ч	Деталь В, шт./ч
Токарный	25	40
Сверлильный	28	35
Шлифовальный	35	25

Каждая отливка, из корой изготавливают деталь А, стоит $2. Стоимость отливки для детали В - $3. Продажная цена деталей равна, соответственно, 5 и 6 долларов. Стоимость часа станочного времени составляет по трем типам используемых станков 20, 14 и 17,5 долларов, соответственно. Предполагая, что можно выпускать для продажи любую комбинацию деталей А и В, нужно найти план выпуска продукции, максимизирующий прибыль.