Учебно-методическое пособие для самостоятельной работы студентов и проведения лабораторных работ по курсу «Эконометрика и экономико-математические методы и модели»

для студентов специальности, «Экономика и управление на предприятии», «Бизнес-админестирирование»

Учебно-методическое пособие содержит теоретический материал, контрольные вопросы и задания для самостоятельной работы студентов и проведения лабораторных работ по курсу «Эконометрика и экономико-математические методы и модели».

Пособие предназначено для студентов специальности «Экономика и управление на предприятии», «Бизнес-администрирование» всех форм обучения.

Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры экономики и управления

Протокол № 2 от «26» сентября 2013 года

Составитель

доцент кафедры экономики и управления канд. техн. наук.

Чегерова Татьяна Ивановна

Рецензент

доцент кафедры «Экономическая информатика» Белорусско-российского университета канд. физ.-мат. наук

Ливинская Виктория Александровна.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Корреляционно – регрессионный анализ

1.1. Парная регрессия и корреляция

1.2. Модели множественной регрессии

2. Эконометрический анализ на основе временных рядов

2.1.Основные понятия в теории временных рядов

2.2. Модели тренда и методы его выделения из временного ряда

2.3. Анализ сезонности временных рядов

3. Задачи математического программирования

3.1.Основные типы линейных экономико-математических моделей

4. Модели управления запасами

4.1. Основные понятия

4.2. Однономенклатурные модели

4.3. Многономенклатурные модели

1. Корреляционно-регрессионный анализ.

1.1 Парная регрессия и корреляция.

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в котором изменение одной величины (называемой зависимой, или результативным признаком) обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин (факторов), а множество всех прочих факторов, также оказывающих влияние на зависимую величину, принимается за постоянные и средние значения. Целью регрессионного анализа является оценка функциональной зависимости условного среднего значения результативного признака (у) от факторных . Регрессия может быть однофакторной (парной) и многофакторной (множественной).

Парная регрессия - уравнение связи двух переменных у и х:

где у – зависимая переменная (результативный признак);

х – независимая, объясняющая переменная (признак – фактор)

Различают линейные и нелинейные регрессии

Линейная регрессия:

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно переменных, включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

• полиномы разных степеней

• равносторонняя гипербола

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

• степенная ;

• показательная

• экспоненциальная

Оценка параметров уравнений регрессии осуществляется методом наименьших квадратов (МНК), в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности.

Сущность метода МНК заключается в нахождении параметров модели ( ), при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии:

Для линейной зависимости:

Рассматривая S в качестве функции параметров и проводя математические преобразования (дифференцирование), получаем

Откуда система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии МНК имеет вид

где n – объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдения).

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции для линейной регрессии ( ):

и индекс корреляции - для нелинейной регрессии ( ):

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Допустимый предел значений не более 8-10%.

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего значения:

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

где - общая сумма квадратов отклонений (total sum of squares);

- сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная», «regression sum of squares»)

- остаточная сумма квадратов отклонений (error sum of squares)

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент (индекс детерминации :

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.

,

где n – число единиц совокупности;

m – число параметров переменных x.

Если F_p>F_α при α = 0,05 или α = 0,01, то уравнение регрессии соответствует или адекватно эмпирическим данным. Величина определяется по специальным таблицам на основании величины α = 0,05 или α = 0,01 и числа степеней свободы V₁ =m, V₂ = n – m – 1.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии рассчитывается t-критерий Стьюдента.

, ,

где - случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициентов корреляции определяются по формулам:

, .

Расчетные значения t-критерия сравниваются с табличными с уровнем значимости и степенью свободы (n-2). Коэффициенты регрессии статистически значимые, если расчетные значения t-критерия больше критических по абсолютной величине.

Корреляционно-регрессионный анализ можно провести средствами Excel.

Пример. Анализируется прибыль предприятия Y(усл.ден.ед.) в зависимости от расходов на рекламу Х (усл.ден.ед.). По наблюдениям за 9 лет получены следующие данные (рис 1.1)

Рисунок 1.1. Ввод исходных данных.

Необходимо найти оценки коэффициентов модели

.

Для проведения регрессионного анализа зависимости прибыли предприятия от расходов на рекламу в меню Сервис выбираем Анализ данных и указываем инструмент анализа Регрессия (Рисунок 1.2).

Рисунок 1.2. Диалоговое окно Анализ данных

После нажатия ОК в диалоговом окне Регрессия указываем входной интервал Y и входной интервал X, а также параметры вывода, остатки, нормальную вероятность, как указано на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3. Диалоговое окно Регрессия

После нажатия ОК получаем результаты, представленные на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4. Вывод результатов линейного регрессионного анализа.

Множественный R – это , где – коэффициент детерминации.

R-квадрат - это . Величина показывает, какая часть (доля) вариации объясняемой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной (  ). Чем ближе к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует эмпирические данные.

Стандартная ошибка регрессии , где – необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

Наблюдения – число наблюдений.

SS Регрессия - сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией - («объясненная» или «факторная»)

SS Остаток - остаточная сумма квадратов отклонений -

F и Значимость F позволяют проверить значимость уравнения регрессии, т.е. установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Уравнение регрессии значимо на уровне , если , где - табличное значение F-критерия Фишера ( ).

На уровне значимости уравнение регрессии статистически значимо если Значимость , и не значимо, если Значимость .

Таким образом, полученная модель:

Y = 1,59X + 8,859

Статистически значима, т.к. Значимость ,

Стандартная ошибка - – стандартные ошибки коэффициентов.

t-статистика соответствующего коэффициента .

P-Значение – вероятность, позволяющая определить значимость коэффициента регрессии .

Для уровня значимости :

Если P-Значение , то коэффициент незначим.

Если P-Значение , то коэффициент значим.

Анализ P-значений показывает, что оба коэффициента значимы.

Нижние 95% - Верхние 95% - доверительный интервал для параметра .

, т.е. с надежностью 0.95 этот коэффициент лежит в данном интервале.

Подбор уравнения парной регрессии можно также провести с помощью графических инструментов Excel. Для построения корреляционного поля в командной строке выбираем меню Вставка/ Диаграмма. В появившемся диалоговом окне выберите тип диаграммы: Точечная; вид: Точечная диаграмма, позволяющая сравнить пары значений (рис. 1.5).

Рисунок 1.5. Выбор типа диаграммы

Нажимаем кнопку Далее. В появившемся диалоговом окне (рис. 1.6) указываем диапазон значений и указываем расположение данных: в столбцах.

Рисунок 1.6. Вид окна при выборе диапазона и рядов

Нажимаем кнопку Далее. В следующем диалоговом окне (рис. 1.7) указываем название диаграммы, наименование осей. Нажимаем кнопку Далее и Готово.

Рисунок 1.7. Вид окна, шаг 3.

Таким образом, получаем корреляционное поле зависимости y от x. Далее добавим на графике линию тренда, для чего выполним следующие действия:

1. В области диаграммы щелкнуть левой кнопкой мыши по любой точке графика, затем щелкнуть правой кнопкой мыши по этой же точке. Появляется контекстное меню (рис. 1.8).

Рисунок 1.8. Установка параметров линии тренда

2. В контекстном меню выбираем команду Добавить линию тренда.

3. В появившемся диалоговом окне выбираем тип графика (в нашем примере линейная) и параметры уравнения, как показано на рисунке 1.9.

Рисунок 1.9. Выбор типа тренда

Нажимаем ОК. Результат представлен на рисунке 1.10.

Рисунок 1.10. Линейная зависимость прибыли от расходов предприятия.

Линия тренда может быть и нелинейной. Excel предлагает еще пять вариантов нелинейных типов тренда. По величине можно выбрать модель, которая будет лучше всего описывать зависимоть между X и Y. Для нашего примера такой моделью будет полином 2-й степени.

Рисунок 1.11. Параболическая зависимость прибыли от расходов предприятия

Величина коэффициента детерминации для параболы R² = 0,98, что больше, чем для линейной модели ( ).