7.3. Кручение стержней прямоугольного сечения

7.3.1. Понятие о депланации сечений

Проводя испытания некруглых стержней, нетрудно убедиться, что их поперечные сечения при кручении перестают быть плоскими. Это явление, связанное с выходом точек поперечного сечения из единой плоскости, носит название депланации сечения. В том случае, когда депланация всех поперечных сечений одинакова, она считается свободной и не приводит к появлению нормальных напряжений в продольных волокнах. В противном случае депланация считается стесненной и сопровождается появлением нормальных напряжений в продольных волокнах. Следует отметить, что во всех реальных случаях кручения стержней некруглого сечения депланация поперечных сечений стеснена. Однако в данной части курса мы не будем учитывать влияние стесненности депланации, т.е. будем рассматривать так называемый случай свободного кручения стержней.

7.3.2. Свободное кручение стержней прямоугольного сечения. Расчеты на прочность и жесткость

Задача свободного кручения стержня прямоугольного сечения впервые была рассмотрена Сен-Венаном с позиции теории упругости. На рис. 7.9 представлена картина распределения касательных напряжений в поперечном сечении, соответствующая решению Сен-Венана. Величина максимального касательного напряжения определяется соотношением

(7.24)

где – момент сопротивления сечения при кручении.

Рис. 7.9

Дифференциальное уравнение для углов закручивания аналогично (7.17) имеет вид

(7.25)

где – момент инерции при кручении стержня прямоугольного сечения. Величины называются коэффициентами Сен-Венана и зависят от соотношения . В табл. 7.1 приведены значения величин при изменении .

Таблица 7.1

	1,0	1,5	1,75	2	2,5	3	4	6	8	10
α	0,208	0,231	0,239	0,246	0,256	0,267	0,282	0,299	0,307	0,313	0,333
β	0,141	0,196	0,214	0,229	0,249	0,263	0,281	0,299	0,307	0,313	0,333
γ	1,0	0,859	0,820	0,795	0,766	0,753	0,745	0,743	0,742	0,742	0,743

Условия прочности и жесткости записываются аналогично соответствующим условиям для круглых стержней:

(7.26)

(7.27)

Величины , находятся аналогично тому, как они находились в случае круглого стержня, при замене величины на . Подбор сечений (при заданном соотношении ) осуществляется на основе условий (7.26), (7.27). В частности, при = m из (7.26) следует

(7.28)

Подбирая прямоугольное сечение для стержня, нагруженного согласно рис. 7.6, при = 1, получим:

м. Площадь подобранного сечения равна м² , что на 22,5 % больше площади круглого сечения. Таким образом, квадратное сечение оказалось наименее экономичным по расходу материала среди рассмотренных.