5.5. Теория прочности Мора
Теория
прочности Мора является обобщением
третьей теории прочности для материалов,
по-разному сопротивляющихся растяжению
и сжатию. Предельное состояние наступает,
когда на площадке с нормалью
величина касательного напряжения
достигает опасного значения, зависящего
от величины нормального напряжения на
той же площадке:
(5.15)
Для определения зависимости (5.15) удобно использовать графическое представление напряженного состояния с помощью кругов Мора.
Рис. 5.2
Если напряженное состояние соответствует началу текучести или разрушению материала, то большой круг Мора (см. рис. 3.9), соответствующий этому предельному состоянию, называется предельным. На рис. 5.2 показаны предельные круги Мора для различных напряженных состояний. Круг 1 соответствует линейному напряженному состоянию при сжатии, круг 2 – линейному напряженному состоянию при растяжении, круг 3 – чистому сдвигу, а круг 4 – произвольному напряженному состоянию.
Согласно
критерию Мора, материал находится в
предельном состоянии, если большой круг
касается огибающей 5 предельных кругов
(см. рис. 5.2). Таким образом, огибающая
является графической иллюстрацией
предельной зависимости (5.15).
В точке
К предельный круг Мора вырождается в
точку, такое напряженное состояние
соответствует разрушению при всестороннем
растяжении
.
Однако провести эксперимент при
всестороннем растяжении затруднительно,
поэтому экспериментальное определение
точки К до сих пор не представляется
возможным.
Точное решение для определения зависимости (5.15) не получено, имеются лишь частные выражения – зависимость ищется в виде прямой, параболы, циклоиды и т.д. Наиболее простой путь – представить огибающую в виде двух касательных к предельным кругам Мора при осевом растяжении и сжатии (круги 1, 2 на рис. 5.2). Если характеристики прочности материала на растяжение и сжатие одинаковы, то касательная будет параллельна оси абсцисс.
Рис. 5.3
Рассмотрим
напряженное состояние с напряжениями
,
которому соответствует круг Мора 3 (рис.
5.3). Увеличив
в n раз, добьёмся того,
чтобы это напряженное состояние стало
предельным, а соответствующий круг
(показан пунктиром) коснулся касательной
к кругам 1, 2. Тогда зависимость между
,
соответствующая переходу в предельное
состояние, будет линейной:
.
(5.16)
Пусть
предельное состояние увязывается с
текучестью материала. При осевом
растяжении в предельном состоянии
.
Отсюда
.
При осевом сжатии предельному
состоянию соответствуют значения
.
Из выражения (5.16) получим
,
и зависимость (5.16) принимает вид:
.
(5.17)
Перепишем (5.17) в виде
.
(5.18)
Левую
часть выражения (5.18) можно трактовать
как
,
а само равенство (5.18) – как критерий
прочности Мора. Отсюда вытекает условие
прочности по теории Мора:
.
(5.19)
Условия
(5.18), (5.19) после умножения на
преобразуются к альтернативному виду:
;
(5.18’)
.
(5.19’)
Если
предельным считать состояние разрушения
материала, в выражениях (5.18), (5.19) вместо
необходимо использовать величины
.