4.3. Статически неопределимые системы при растяжении-сжатии и порядок их расчета

Системы, в которых для определения реакций в связях недостаточно уравнений равновесия (уравнений статики), называются статически неопределимыми. Примеры статически неопределимых стержневых систем с растянутыми (сжатыми) элементами показаны на рис. 4.6, а, б, в.

Пользуясь методом сечений, нетрудно убедиться, что во всех, показанных на рис. 4.6 случаях, для определения реакций в связях систем недостаточно уравнений равновесия. Например, в случае на рис. 4.6, а, отделяя стержень от опор и составляя сумму проекций всех сил, действующих на отсеченную часть, на ось x, получим уравнение: . Это уравнение описывает статическую сторону задачи расчета системы 4.6, а (остальные уравнения равновесия тождественно выполняются), и в него входят две неизвестные реакции опорных связей R₀, R₂. Таким образом, определение реакций опорных связей из уравнений статики невозможно, и система 4.6, а статически неопределима. Аналогичные рассуждения можно провести для других систем, представленных на рис. 4.6.

а) б) в)

Рис. 4.6

Степенью статической неопределимости системы называют разность между числом неизвестных реакций в связях системы и числом уравнений равновесия, которые можно составить для определения этих реакций. Исходя из этого определения, можно заключить, что степень статической неопределимости системы, показанной на рис. 4.6, а, равна единице, системы, показанной на рис. 4.6, б, – двум, а системы, показанной на рис. 4.6, в), – трем.

Для получения недостающих уравнений необходимо рассмотреть две другие стороны задачи – геометрическую и физическую.

Геометрическая сторона задачи

Анализ геометрической стороны задачи расчета статически неопределимой системы предполагает рассмотрение возможной деформации системы, выявление деформаций ее отдельных частей и элементов и нахождение уравнений, связывающих эти деформации (уравнений неразрывности деформаций).

Будем в дальнейшем рассматривать случай малых деформаций, характерный для несущих строительных конструкций. В таком случае при рассмотрении статической стороны задачи деформации не учитываются (расчет по недеформированной схеме), а при рассмотрении геометрической стороны задачи в качестве возможной удобно принимать бесконечно малую деформацию системы (начальный момент деформирования). Тогда перемещения узлов системы перпендикулярны их мгновенным радиусам вращения, а полную деформацию прямого стержня можно находить как сумму проекций перемещений его концов на направление стержня.

Физическая сторона задачи

Рассмотрение этой стороны задачи заключается в нахождении зависимостей, связывающих составляющие напряженного и деформированного состояний рассматриваемой системы.

Для стержневой системы, элементы которой работают при растяжении (сжатии), – это зависимости, связывающие величины удлинений (укорочений) стержней с продольными силами в стержнях. При построении этих зависимостей используются принятые физические законы деформирования материалов элементов системы.

Подстановка полученных зависимостей в уравнения неразрывности деформаций, сформулированные на основе рассмотрения геометрической стороны задачи, позволяет получить дополнительные уравнения, в которые входят неизвестные реакции в связях системы. Решая систему уравнений, сформированную из необходимых уравнений статики и дополнительных уравнений, находим реакции в связях системы, то есть статически неопределимая задача решена.

Для иллюстрации порядка расчета статически неопределимых систем при растяжении-сжатии рассмотрим пример, представленный на рис. 4.7.

Рис. 4.7

А₁ = 40 см²; А₂ = 60 см²; МПа;

°С; 1/град.

Согласно данным, приведенным на рис. 4.7, рассматриваемая стержневая система включает условно бесконечно жесткую часть 1–3–4, деформацией которой можно пренебречь. Стальные стержни 1, 2, площади поперечных сечений которых равны А₁, А₂, охлаждены на 30° и работают на растяжение (сжатие). Опорный узел 5 стержня 2 вследствие просадки основания вертикально перемещается на величину Представленная на рис. 4.7 стержневая система является один раз статически неопределимой. Для определения усилий N₁, N₂ рассмотрим три стороны задачи.

Рис. 4.8

Статическая сторона задачи

Воспользовавшись сечением, показанным на рис. 4.7, рассмотрим условия равновесия вырезанной части. В данном случае из трех уравнений равновесия следует воспользоваться только уравнением моментов относительно т. 1 (использование других уравнений добавляет неизвестные реакции V₁, H₁ и не позволяет найти N₁, N₂):

; м; м;

. (а)

Геометрическая сторона задачи

Зададимся возможной бесконечно малой деформацией системы (рис. 4.8; на рисунке штрихами помечены положения узлов деформированной системы). Так как бесконечно жесткая часть 1–3–4 не деформируется, то

(б)

Определяя абсолютные деформации стержней 1, 2 как суммы проекций перемещений концов стержней, получим:

;

.

Отсюда ; (в)

Подставляя (в) в (б), получим:

; . (г)

Уравнение (г) обобщает геометрическую сторону задачи расчета и является уравнением неразрывности деформаций в данной задаче.

Физическая сторона задачи

Будем полагать, что при определении деформаций элементов системы применимы закон Гука и закон линейного температурного деформирования. Тогда для стержней постоянной жесткости при постоянном по объему изменении температуры в стержне имеем:

После элементарных преобразований получим:

(д)

Подставляя (д) в (г), получим дополнительное уравнение:

(е)

Решая систему (а), (е), получим:

кН; кН; статическая неопределимость раскрыта.

Рассмотренный пример позволяет оценить, насколько значительным может оказаться влияние температуры и осадки опор на величины усилий в стержнях системы. Без учета влияния изменения температуры и осадки опоры 5: кН; кН.