3.7. Перемещения точек при деформировании материала. Линейные угловые и объемная деформации. Тензор деформаций

В процессе деформирования тела под нагрузкой его точки перемещаются в пространстве (рис. 3.11).

Рис. 3.11

Полное перемещение KK₁ исследуемой точки K можно представить как геометрическую сумму ее перемещений в координатных направлениях. Составляющие в декартовой системе координат показаны на рис. 3.11. Величины являются функциями координат точек:

Рис. 3.12

Д ля характеристики деформированного состояния тела в окрестности исследуемой точки K рассмотрим элементарный параллелепипед, содержащий точку K (рис. 3.12). Деформированный параллелепипед показан на рис. 3.12 штриховыми линиями, причем в силу малости объема можно полагать, что его грани остались плоскими.

П

ри описании деформации параллелепипеда удобно рассматривать деформации отдельных его граней. Деформация грани, параллельной плоскости xOy, представлена на рис. 3.13. При этом нет узлов, получивших приращение координат , учитывается только линейная часть приращений перемещений.

Согласно рис. 3.13 изменения размеров выделенного элемента вдоль осей равны Аналогично

О тносительные величины

(3.25)

называют линейными деформациями вдоль осей в точке K.

Изменения первоначально прямых углов между ребрами выделенного параллелепипеда называются угловыми деформациями (деформациями сдвига). В частности, сдвиг между ребрами, параллельными осям равен сумме . В силу малости углов Таким образом, величины угловых деформаций определяются соотношениями

(3.26)

Матрица называется тензором деформаций в исследуемой точке K.

Совокупность линейных и угловых деформаций для всевозможных направлений в окрестности исследуемой точки K называется деформированным состоянием в точке K.

Из выражений (3.25) следует, что изменения линейных размеров выделенного элемента могут быть получены через линейные деформации: . Тогда объем деформированного элемента равен

.

Относительная характеристика изменения объема выделенного элемента равна

Величина называется объемной деформацией материала в точке. Так как обычно , то, пренебрегая величинами второго и третьего порядка малости, получим

. (3.27)

3.8. Аналогия в описании деформированного и напряженного состояний материала в точке. Главные деформации

Анализ деформированного состояния показывает, что оно обладает свойствами, аналогичными свойствам напряженного состояния. В частности, нетрудно показать, что линейные и угловая деформации в осях , повернутых при вращении относительно оси к осям под углом , определяются выражениями, аналогичными (3.18), (3.19):

(3.28)

Этот факт является одним из проявлений так называемой статико-геометрической аналогии в механике деформируемого твердого тела.

По аналогии с напряженным состоянием можно утверждать, что в окрестности каждой точки деформируемого тела можно выделить три взаимно перпендикулярных направления, сдвиги между которыми отсутствуют. Эти направления называются главными. В теле, выполненном из изотропного материала, они совпадают с направлениями главных напряжений. Линейные деформации в главных направлениях называются главными деформациями, причем . Величины главных деформаций являются решением кубического уравнения (см. 3.11):

(3.29)

где

– инварианты деформированного состояния. Деформированное состояние можно графически описать с помощью трех кругов деформаций, аналогичных кругам напряжений (см. рис. 3.9).