3 Порядок обработки результатов измерений

При статистической обработке группы результатов прямых многократных измерений выполняют следующие операции:

• исключают известные систематические погрешности из результатов измерений;

• вычисляют оценку измеряемой величины;

• вычисляют среднее квадратическое отклонение результатов измерений;

• проверяют наличием грубых погрешностей и при необходимости исключают их;

• проверяют гипотезу о принадлежности результатов измерений по нормальному распределению;

• вычисляют доверительные границы случайной погрешности (доверительную случайную погрешность) оценки измерений величины;

• вычисляют доверительные границы (границы) неисключенной систематической погрешности оценки измеряемой величины;

• вычисляют доверительные границы погрешности оценки измеряемой величины.

4 Исходные данные для выполнения задачи

Таблица 4.1 – Исходные данные

Вариант	Результаты измерений										Неисключенные систематические погрешности
14	3,74	3,72	3,61	3,86	3,71	4,91	3,77	3,89	3,7	3,81	0,08	0,06
	3,56	3,78	3,81	3,95	4,62	3,58	3,77	3,81	3,82	3,79

5 Обработка результатов прямых многократных измерений

1. Определить среднее арифметическое значение по формуле:

где x_i - i - й результат измерений; n - число исправленных результатов измерений.

= = 3,86

5.2 Среднее квадратическое отклонение S группы, содержащей результатов измерений, вычисляют по формуле:

5.3 Исключение грубых погрешностей с помощью критерий Граббса:

Для этого вычисляют критерии Граббса G₁ и G₂, предполагая, что наибольший x_max или наименьший x_min результат измерений вызван грубыми погрешностями.

,

Сравнивают G₁ и G₂ с теоретическим значением  G_T критерия Граббса при выбранном уровне значимости q.

Для 20 измерений при уровне значимости q (свыше 5 %) G_T = 2,709 (табл. 5.3.1).

Таблица 5.3.1 – Критические значения G_T для критерия Граббса

n	Одно наибольшее или одно наименьшее значение при уровне значимости
	Свыше 1%	Свыше 5%
3	1,155	1,155
4	1,496	1,481
5	1,764	1,715
6	1,973	1,887
7	2,139	2,020
8	2,274	2,126
9	2,387	2,215
10	2,482	2,290
11	2,564	2,355
12	2,636	2,412
13	2,699	2,462
14	2,755	2,507
15	2,806	2,549
16	2,852	2,585
17	2,894	2,620
18	2,932	2,651
19	2,968	2,681
20	3,001	2,709

Таблица 5.3.2 – Результаты измерений

Результаты измерений, хi	хi-	(хi-)2
3,74	-0,12	0,0145
3,72	-0,14	0,0197
3,61	-0,25	0,0628
3,86	0,00	0,0000
3,71	-0,15	0,0227
4,91	1,05	1,1015
3,77	-0,09	0,0082
3,89	0,03	0,0009
3,7	-0,16	0,0258
3,81	-0,05	0,0026
3,56	-0,30	0,0903
3,78	-0,08	0,0065
3,81	-0,05	0,0026
3,95	0,09	0,0080
4,62	0,76	0,5768
3,58	-0,28	0,0787
3,77	-0,09	0,0082
3,81	-0,05	0,0026
3,82	-0,04	0,0016
3,79	-0,07	0,0050
		2,0387

Так как G₁ > G_T, то х_max исключают как маловероятное значение.

Так как G₂ ≤ G_T, то х_min не считают промахом и сохраняют его в ряду результатов измерений.

4. Определить среднее арифметическое значение по формуле:

где x_i - i - й результат измерений; n - число исправленных результатов измерений.

= = 3,80

5.5 Среднее квадратическое отклонение S группы, содержащей результатов измерений, вычисляют по формуле:

6. Исключение грубых погрешностей с помощью критерий Граббса:

Для этого вычисляют критерии Граббса G₁ и G₂, предполагая, что наибольший x_max или наименьший x_min результат измерений вызван грубыми погрешностями.

,

Сравнивают G₁ и G₂ с теоретическим значением  G_T критерия Граббса при выбранном уровне значимости q.

Для 19 измерений при уровне значимости q (свыше 5 %) G_T = 2,681 (табл. 5.3.1).

Таблица 5.6.1 – Результаты измерений

Результаты измерений, хi	хi-	(хi-)2
3,74	-0,06	0,0036
3,72	-0,08	0,0064
3,61	-0,19	0,0361
3,86	0,06	0,0036
3,71	-0,09	0,0081
3,77	-0,03	0,0009

Продолжение таблицы 5.6.1

3,89	0,09	0,0081
3,7	-0,10	0,0100
3,81	0,01	0,0001
3,56	-0,24	0,0576
3,78	-0,02	0,0004
3,81	0,01	0,0001
3,95	0,15	0,0225
4,62	0,82	0,6724
3,58	-0,22	0,0484
3,77	-0,03	0,0009
3,81	0,01	0,0001
3,82	0,02	0,0004
3,79	-0,01	0,0001
		0,8798

Если G₁ > G_T, то х_max исключают как маловероятное значение.

Если G₂ ≤ G_T, то х_min не считают промахом и сохраняют его в ряду результатов измерений.

7. Определить среднее арифметическое значение по формуле:

где x_i - i - й результат измерений; n - число исправленных результатов измерений.

= = 3,76

5.8 Среднее квадратическое отклонение S группы, содержащей результатов измерений, вычисляют по формуле:

5.9 Исключение грубых погрешностей с помощью критерий Граббса:

Для этого вычисляют критерии Граббса G₁ и G₂, предполагая, что наибольший x_max или наименьший x_min результат измерений вызван грубыми погрешностями.

,

Сравнивают G₁ и G₂ с теоретическим значением  G_T критерия Граббса при выбранном уровне значимости q.

Для 18 измерений при уровне значимости q (свыше 5 %) G_T = 2,651 (табл. 5.3.1).

Таблица 5.9.1 – Результаты измерений

Результаты измерений, хi	хi-	(хi-)2
3,74	-0,02	0,0004
3,72	-0,04	0,0016
3,61	-0,15	0,0225
3,86	0,10	0,0100
3,71	-0,05	0,0025
3,77	0,01	0,0001
3,89	0,13	0,0169
3,7	-0,06	0,0036
3,81	0,05	0,0025
3,56	-0,20	0,0400
3,78	0,02	0,0004
3,81	0,05	0,0025

Продолжение таблицы 5.9.1

3,95	0,19	0,0361
3,58	-0,18	0,0324
3,77	0,01	0,0001
3,81	0,05	0,0025
3,82	0,06	0,0036
3,79	0,03	0,0009
			0,1786

Если G₁ ≤ G_T, то х_max не считают промахом и сохраняют его в ряду результатов измерений.

Если G₂ ≤ G_T, то х_min не считают промахом и сохраняют его в ряду результатов измерений.

5.10 Рассчитать среднее квадратическое отклонение среднего арифметического (оценки измеряемой величины) S по формуле:

5.11 Проверить гипотезу о том, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению:

При числе результатов измерений 15 < n < 50 для проверки принадлежности их к нормальному распределению предпочтителен составной критерий.

Считают, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению, если не более m разностей превысили значение ,

где S - среднее квадратическое отклонение;

z_p/2 - верхний квантиль распределения нормированной функции Лапласа, отвечающий вероятности P/2. 

Таблица 5.11.1 – Значения Р для вычисления z_p/2

n	m	q2·100%*
		1%	2%	5%
10	1	0,98	0,98	0,96
11-14	1	0,99	0,98	0,97
15-20	1	0,99	0,99	0,98

Таблица 5.11.2 – Значения z_p/2

Р	zp/2
0,96	2,06
0,97	2,17
0,98	2,33
0,99	2,58

Для 18 измерений при уровне значимости q свыше 5% и доверительной вероятности 0,98, значение верхнего квантиля z_p/2 = 2,33 (табл. 5.11.1 и 5.11.2).

z_p/2 * S = 2,33 * 0,102 = 0,24

Так как m = 0 (табл. 5.9.1), следовательно результаты измерений принадлежат нормальному распределению.

5.12 Вычислить доверительные границы случайной погрешности:

где t – коэффициент Стьюдента.

Таблица 5.12.1 – Значения коэффициента Стьюдента

n-1	P = 0,95
20	2,086

Продолжение таблицы 5.12.1

19	2,0930
18	2,1009
17	2,1098
16	2,1190
15	2,1314
14	2,1448
13	2,1604
12	2,1788
11	2,201
10	2,2281
9	2,2622

ε = 2,1098 * 0,024 = 0,05

5.13 Вычислить границы неисключенной систематической погрешности (НСП):

Границу НСП θ_∑ оценки измеряемой величины при наличии менее трех (m<3) НСП, каждая из которых представлена границами θ_i , оценивают по формуле:

θ_∑ = ± 0,14

5.14 Вычислить доверительные границы погрешности результата измерения по формуле:

где К - коэффициент, зависящий от соотношения случайной составляющей погрешности и НСП.

Суммарное среднее квадратическое отклонение S_∑ оценки измеряемой величины вычисляют по формуле:

S_∑ =

где S_θ - среднее квадратическое отклонение НСП, которое оценивают в зависимости от способа вычисления НСП по формуле:

S_θ =

Коэффициент К вычисляют по формуле:

∆₁ = 1,8185 * 0,081 = 0,15

∆₁ = 3,3545 * 0,081 = 0,27

∆₁ = 0,8525 * 0,081 = 0,07

∆₁ = 1,5725 * 0,081 = 0,13

5.15 Запись результата измерения:

При симметричных доверительных границах погрешности результат измерения представляют в форме:

, Р