Задача 10.

Шарик с массой m = 1,5 г и зарядом q = –15 нКл перемещается из точки 1, потенциал которой ₁ = 300 В, в точку 2, потенциал которой ₂ = 1800 В. Найти его скорость в точке 1, если в точке 2 она стала равной v₂ = 20 см/с.

Дано:

m = 1,5 г 1,5·10^–3кг

q = –15 нКл

₁ = 300 В

₂ = 1800 В

v₂ = 20 см/с 0,20 м/с

Опр.

v₂ = ?

Решение

1. Перемещая заряд из токи 1 в точку 2 поле совершает работу равную

2. По теореме о кинетической энергии

.

3. Приравняем правые части равенств

.

4. Решим полученное равенство относительно скорости v₁

.

5. Проведем расчет искомой величины

см/с

Ответ: v₁ = 10 см/с.

Задача 11.

Используя теорему Гаусса, рассчитать напряженность электрического поля равномерно заряженной бесконечной плоскости как функцию расстояния . Поверхностная плотность заряда σ =2·10^–9 Кл/м².

Д ано:

σ =2·10^–9 Кл/м²

Опр.

E = f(r)

Решение

1 . Теорему Гаусса к расчету напряженности электрического поля можно применить только в том случае, если поле обладает симметрией. Главное правильно выбрать поверхность интегрирования (Гауссову поверхность). Для этого необходимо представить картину силовых линий. Поле бесконечной заряженной плоскости, имеет силовые линии, идущие перпендикулярно плоскости (см. рис.). Форма поверхности должна учитывать симметрию поля относительно заряженной плоскости. Выберем поверхность в виде цилиндра радиуса R, высотой h, ось которого совпадает с силовой линией. При таком выборе поверхности интегрирования поток вектора не равен нулю только через основания цилиндра (линии перпендикулярны основаниям цилиндра), а через боковую поверхность равен нулю, поскольку силовые линии скользят вдоль поверхности.

2. Вычислим поток вектора по определению

,

, так как , , так как .

Получаем

.

Модуль вынесли за знак интеграла, т.к. все точки оснований находятся на одинаковом расстоянии от плоскости и величина E должна быть одинакова из соображений симметрии.

Окончательно

.

3. Найдем заряд, охватываемый поверхностью интегрирования

.

4. Воспользуемся теоремой Гаусса

и приравняем поток из пункта 2 к заряду найденному в пункте 3 деленному на электрическую постоянную ε₀:

5. Из последнего уравнения найдем напряженность

.

Вывод: поле бесконечной равномерно заряженной плоскости является однородным, т.е. не зависит от расстояния до заряженной поверхности.

Ответ: .

Задача 12.

В вершинах квадрата расположены одинаковые по величине заряды Кл. В двух соседних вершинах расположены отрицательные заряды, а в двух других – положительные. Найти напряженность электрического поля в центре квадрата. Сторона квадрата а = 4,0 см.

Д ано:

q = 8,0·10^–9 Кл

а = 4,0 см 0,04 м

Опр.

Е = ?

Решение

П оле создается системой точечных зарядов. Напряженность суммарного поля можно найти с помощью принципа суперпозиции

,

где , , , – напряженности полей, создаваемых в центре квадрата каждым зарядом.

Из рисунка видно, что заряды находятся на одинаковом расстоянии от центра квадрата. Модули напряженностей от отдельных зарядов будут одинаковыми, поскольку по модулю заряды равны друг другу.

1. Запишем формулу для расчета модуля напряженности электрического поля точечного заряда

,

где q – величина точечного заряда, ε₀ – электрическая постоянная, r – расстояние от заряда до точки поля.

2. Найдем модуль напряженности от одного из зарядов, например, первого. Учтем, что расстояние от заряда до центра квадрата равно .

.

3. Векторы напряженностей от зарядов 1 и 3 сонаправлены, следовательно, их сумма дает вектор в два раза больший по модулю, чем вектор напряженности от первого заряда.

.

4. Проведя аналогичные рассуждения, для зарядов 2 и 4, придем к выводу, что

.

5. Векторы и взаимно перпендикулярны, следовательно, Модуль результирующего вектора равен

.

5. Вычислим напряженность поля в центре квадрата

В/м

Ответ: Е = 2,56·10⁵ В/м.