33. Ряди Маклорена

Нехай функція f(x) визначена в деякому околі точки х=0 і має в цій точці похідні усіх порядків. Степеневий ряд

Називається рядом Маклорена для функції f(x).

34. Записати ряд Тейлора

Степеневий ряд по зростаючих степеневих різницях x-a, де а- незалежним чином підібрана постійна

Називається рядом Тейлора.

35. Звичйне диференціальне рівняння. Основні поняття : порядок диференціального рівняння , розвязок диференціального рівняння , інтегральна крива диференціального рівняння.

Звичайним диференційним рівнянням називається рівняння

(1)

Яке зв’язує незалежну змінну x, шукану функцію y=y(x) та її похідні Тут F- задана функція своїх аргументів. Порядок найвищої похідної, яка входить в рівняння, називається порядком диференційного рівняння .

Будь-яка функція y=φ(x), яка при підстановці в рівняння, перетворює його в тотожність, називається розв’язкам цього рівняння. Розв’язування(інтегрування) даного диференційного рівняння полягає у знаходженні всіх його розв’язків у заданій області. Графік розв’язку називається інтегральною кривою диференційного рівняння.

36. Диференціальне рівняння першого порядку. Загальний розвязок диференціального рівняння

Загальним розв’язком диференційного рівняння називається такий його розв’язок який містить стільки довільних постійних яким є порядок його рівняння. Якщо постійним надати певні значення, то отримаємо частковий розв’язок даного диференційного рівняння.

Загальний вигляд диференційного рівняння першого порядку

(2)

Якщо рівняння розв’язати відносно похідної, то отримаємо диференційне рівняння першого порядку в явній формі

(3)

Загальний розв’язок рівняння(3) має вигляд

(4)

Де C –довільна постійна. Геометрично загальний розв’язок(4) зображає собою сукупність інтегральних кривих(часткових розв’язків), які відповідають різним значенням постійної C.

37. Задача Коші.

Задачею Коші називається задача знаходження часткового розв’язку диференціального рівняння.

38. Сформулюйте задачу Коші для розв’язування диференціального рівняння

Задачею Коші називається відшукання такого часткового розв’язку y= диференційного рівняння (3), який задовольняє задану початкову умову . Геометрично задачу Коші можна сформулювати так: знайти інтегральну криву диференційного рівняння , яка проходить через задану точку

39. Диференціальне рівняння з відокремленими рівняннями . Загальний розвязок диференціального рівняння

Рівняння виду:

Де X(x)-функція лише змінної x, а Y(y)- функція лише змінної y називається диференційним рівнянням з відокремленими змінними. Загальний розв’язок:

40.Диференціальне рівняння зі змінними, що відокремлюються. Загальний розв’язок диференціального рівняння

Рівняння виду:

Де X(x), - функції лише змінної x, а Y(y), -функції лише змінної y називається диференційним рівнянням зі змінними, що відокремлюються. Якщо розділити рівняння на добуток , то отримаємо загальний розв’язок рівняння:

41. Однорідне Диференціальне рівняння першого порядку

Рівняння

Називається однорідним диференційним рівнянням першого порядку, якщо коефіціети P(x;y) і Q(x;y) при диференційних змінних x і y є однорідними функціями однакового степеня.

42. Лінійне Диференціальне рівняння першого порядку

Лінійне диференційне рівняння другого порядку записується у вигляді:

Де a(x),b(x),C(x) - задані функції. Рівняння можна записати у зведеному вигляді

Де, p(x)=b(x)/a(x), f(x)=-c(x)/a(x), a(x)≠0

43. Диференціальне рівняння другого порядку

Де – незалежні довільні постійні.

44. Диференціальне рівняння другого порядку

Розв’язується дане рівняння подвійним інтегруванням

45. Диференціальне рівняння другого порядку

Рівняння яке не містить у в явній формі, підстановкою

Зводиться до диференційного рівняння першого порядку

З невідомою функцією p

46. Диференціальне рівняння другого порядку

Рівняння, яке не містить х в явній формі підстановкою

Теж зводиться до диференційного рівняння першого порядку

В якому роль незалежної змінної відіграє y.