19.Обчислення площ криволінійних фігур

20.Невласні інтеграли. Інтеграли від розривних ф-й. 23. Невласний інтеграл іі роду

Нехай функція f(x) визначена й неперервна при a≤x<c, а при x=c функція або не визначена, або має розрив.

Інтеграл від функцій f(x) визначається так:

Якщо границя, яка стоїть справа, існує, то інтеграл називається несласним збіжним інтегралом ІІ роду, у протилежному випадку розбіжним.

Якщо функція f(x) має розрив у лівому кінці відрізка [a;c] то по означенню:

Якщо функція f(x) має розрив у деякій точці всередині відрізка [a;c], то покладають

Якщо обидва невластивих інтеграли, що стоять в правій частині рівності існують .

21.Невласні інтеграли. Інтеграли з безмежними межами. 22.Невласний інтеграл I роду

Нехай функція f(x) визначена й неперервна для всіх Х, x≥a і інтегрована на [a;b]. Якщо існує скінченна границя , то вона називається невластивим інтегралом І роду на проміжку [a;+∞] і позначається

У цьому випадку кажуть, що невласний інтеграл є збіжний, якщо ж границя відсутня або нескінченна- розбіжний.

Аналогічно визначаються невласні інтеграли й для інших безмежних проміжків :

24.Що називається числовим родом? Наведіть приклад

Вираз

низивається числовим рядом, а числа - членами ряду. Член ряду називається загальним членом ряду. Це деяка функція від n , яку необхідно вказати, щоб задати послідовність членів ряду.

25.Сформулюйте загальні властивості збіжних рядів

1. Якщо ряд збігається, то збігається і будь-який ряд отриманий з нього шляхом відкидання скінченного числа членів.

2. Якщо ряди і збігаються, а їх суми відповідно рівні і , то збігається і ряд, отриманий почленним додаванням цих рядів , причому його сума рівна +

3. Якщо ряд ..збігається , то чи буде збігатися ряд Якщо ряд .. збігається і його сума рівна S, то збігається і ряд , де , причому його сума рівна

4. Якщо ряд збігається і будь-який ряд, отриманий з нього групуванням доданків, причому суми обох рядів однакові.

5. Ряд …, де k-довільне натуральне число, називається k-им залишком ряду, а його суму позначають . Якщо збігається ряд то збігається і його k-ий залишок, причому їх суми пов’язані співвідношенням

26.Сформулюйте необхідну ознаку збіжності ряду

Якщо ряд збігається, то його n-й член прямує до нуля при n→∞: Ця ознака є лише необхідною для збіжності ряду, тобто, якщо вона не виконується, то ряд не може збігатися. Тому, за допомогою цієї ознаки можна доводити лише розбіжність ряду.

27. Сформулюйте достатні ознаки збіжності рядів

Перша ознака порівняння. Нехай дано два ряди з додатними членами:

(1)

(2)

Причому члени першого ряду не перевищують відповідних членів другого . Тоді із збіжності ряду (2)(«більшого») випливає збіжність ряду (1)(«меншого»). Як наслідок, з розбіжності ряду (1) випливає розбіжність ряду(2).

Друга ознака порівняння. Якщо два рядів (1) і (2) існує відмінна від нуля границя , то ряди збігаються або розбігаються одночасно.

28. Сформулюйте ознаку збіжності Даламбера

Якщо для ряду з додатними членами існує границя то при r<1 ряд збіжний,при r>1-розбіжний. При r=1 можлива як збіжність, так і розбіжність ряду.

29. Сформулюйте основні властивості рядів з додатніми членами

1.Перестановка членів ряду. Нехай ряд , члени якого додатні, збіжний і має суму S. Тоді ряд, отриманий з нього будь-якою перестановкою членів, теж збіжний і має ту саму суму S.

2.Множення рядів. Нехай ряди з додатними членами збігаються відповідно до сум . Тоді ряд, складений із усіх добутків виду , розташованих у будь-якому порядку, також збігається, і його сума рівна .

30. Записати ознаку збіжності знакозмінного ряду

Ряд вигляду:

Називається знакозмінним, якщо частина його членів приймає додатні значення, а решта- від’ємні.

31. Що називається степеневим рядом? Наведіть приклади

Степеневим рядом називається функціональний ряд вигляду

Де та -постійні числа. Точку називають центром степеневого ряду

32. Інтеграл збіжності степеневого ряду

Для степеневого ряду з центром

Можливі лише три випадки:

1.Ряд збігається в єдиній точці

2.Ряд збігається при всіх значеннях x

3. Існує таке R>0, то ряд збігається при всіх значеннях x, для яких |x|<R, і розбігається при всіх x, для яких |x|>R.

Інтеграл (-R;R) називається інтервалом збіжності ряду, а число R- радіусом збіжності цього ряду.

Радіус збіжності степеневого ряду, як правило, визначається за допомогою ознаки збіжності Даламбера за формулою: