Инерция, қатаңдық коэффициенттері мен әсер ету коэфициенттерінің матрицалары

Келесі зерттеудің ыңғайлы болуы үшін матрица түсінігін енгіземіз. Квадратты матрица сандардың келесі жиынтығын береді:

Бұл матрицаны қысқаша деп белгілейміз.

Матрицаны құрайтын мәндерін матрица элементтері деп атайды.

Матрица элементінің бірінші индексі оның жолын, ал екіншісі бағанның нөмерін білдіреді.

Берілген марица элементінен құралған анықтауышты деп белгілейміз:

Матрицаның элементтері орналасқан диагоналін бас диагональ деп атайды.

Бір бағаннан тұратын матрицаны бір колонналы деп атайды әрі деп белгілейді:

Бір жолдан тұратын матрицаны бір жолды деп атайды, әрі (а) деп белгілейді

Бас диагоналінде орналасқан элементтерінен басқалары нөлге тең болатын квадраттық матрицаны диагоналбді матрица деп атайды:

Егер диагональді матрицада болса, ондай матрицаны бірлік деп атайды және деп белгілейді:

Екі квадраттық матрицаның қосындысы, элементтері сәйкес қосылатын матрицалар элементтерінің қосындыларына тең болатын квадраттық матрицаны береді:

мұндағы

матрицаны қандай да бір санға көбейту үшін матрицаның барлық элементін осы санға көбейту қажет,яғни

матрицасының анықтауышы мынаған тең болады:

және екі квадратты матрицаның көбейтіндісі, элементтері келесі формуладан анықталатын квадратты матрицасын береді:

яғни олар бірінші матрицаның i-жолы элементтерінің екінші матрицаның сәйкес j- бағаны элементтерімен көбейтінділерінің қосындысына тең.

немесе

матрицаларды көбейтуде орын ауыстыру қасиеті болмайды, яғни

Нүктенің еркін тербелісінің негізгі жиілігін жуықтап анықтау әдісі

Жүйенің еркін тербелісі келесі дифференциалдық теңдеулермен анықталады:

Бұл дифференциалдық теңдеулердің дербес шешімі мынадай болады:

бұл жерде

_{болғандықтан,}

(4.3.1)

- ты деп белгілеп, келесі теңдікті аламыз:

(4.3.2)

Онда (4.2.2) алгебралық теңдеулер жүйесі келесі түрде болады:

(4.3.3)

теңдеуіне кіретін квадраттық матрицаның анықтауышын нөлге теңестіру арқылы жиіліктер теңдеуін аламыз:

(4.3.4)

Бұл теңдеулердің түбірлерін деп белгілесек әрі

-ны келесі түрде алайық:

немесе

(4.3.5)

(4.3.4) және (4.3.5) өрнектерін салыстыру арқылы алатынымыз

(4.3.6)

немесе

(4.3.7)

яғни жиіліктер теңдеуінің түбірлерінің қосындысы, матрицаның бас диагональдерінің элементар қосындысына тең. бұл теңдеудің басқа түбірлерінің барлығынан үлкен болғандықтан, жуықтап алғанда

(4.3.8)

(4.3.8) формуласы бойынша (Dunkerley формуласы) жүйенің негізгі тербелісінің нақты жиілігіне астынан алғандағы бірінші дөрекі жуықтауды аламыз:

Жүйенің еркін тербелісінің негізгі жиілігін анықтау үшін (4.3.2) теңдеуінің екі жағын да үлкен дәрежелі нақтылықпен -ға, ал алынған теңдеуді -қа т.с.с. көбейтеміз. (4.3.2) теңдеуінің сол жағын -ға көбейту, сәйкесінше, оң жағын матрицасына көбейткенге сәйкес келетіндіктен, алгебралық теңдеулердің келесі жүйесін аламыз:

……………………….

немесе

(4.3.9)

(4.3.9) теңдеуіне жиіліктер теңдеуі сәйкес келеді,

(4.3.10)

Мұндағы матрицасының элементтері . Басқаша алғанда,

_(4.3.11)

онда

(4.3.12)

Мұндағы -(4.3.10) жиіліктер теңдеуінің түбірлері:

-матрицаның бас диагоналі элементтері (мұндағы ).

(4.3.12) тәуелділігі жүйенің бірінші бас тербелісінің жиілігін анықтаудың қарастырып отырған әдісі үшін негізгі теңдеу болып табылады.

_{жиіліктердің (4.3.10) теңдеуінің барлық жаңа түбірлерінен әлдеқайда үлкен болғандықтан,}

(4.3.13)

(4.3.13) формуласы арқылы жүйенің еркін тербелісінің негізгі жиілігіне жақын мәнінің қандай да болмасын, кез келген алуға болады (жуықтау астыңғы жағынан).

Негізгі жиіліктің нақты мәніне үстіңгі жағынан біртіндеп жуықтауға арналған формуланы шығарайық. (4.3.12) қатынасынан алатынымыз:

Сәйкесінше,

және

Фигуралы жақша ішіндегі бөлшек үлкейген сайын 1-ге ұмтылады, бірақ әрқашан одан кіші болып қалады, онда

(4.3.14)

мұндағы

Сонымен, жүйенің еркін тербелісінің негізгі жиілігі үшін келесі шекараны орнатуға болады:

(4.3.15)

(4.3.15) қатынасын П.Ф.Папкович алған Папкович әдісінің тез жинақталуы қасиеті бар; көптеген практикалық есептерді шешу кезінде үшінші қосымшада (r=2) негізгі жиіліктің нақтыға жуық мәнін аламыз.

Бұл әдіс тек бір ғана алгебралық операцияны қолдануды, матрицаны квадраттауды, яғни бірдей матрицаларды өзара көбейтуді талап етеді. _{алынған матрица болады.}

_{(4.3.12) негізгі қатынастардан жүйенің еркін тербелісінің бірінші екі жиілігінің де формуласын алуға болады:}

Сәйкесінше,

(4.3.16)

(4.3.17)

Бернштейн зерттеулерінен көретініміз, бұл формулалар бірінші жиілік үшін жоғарыдан, ал екінші үшін төменнен жуықтауды береді.