Сызықсыз кедергі жағдайындағы мәжбүр тербеліс. Тұтқырлықтың эквиваленттік коэффициенті.

Дененің мәжбүр тербелісінің дифференциалдық теңдеуі

(5.7.1)

түрінде берілген болса, әрі мұндағы , жылдамдыққа сызықты емес тәуелді болатын дененің қозғалыс кедергісін өрнектесе, онда қарастырып отырған дифференциалдық теңдеу сызықты емес болады.

Бұл дифференциалдық теңдеудің нақты шешімі тек қана құрғақ үйкеліс жағдайы үшін алынуы мүмкін.

(5.7.1) теңдеуімен өрнектелген мәжбүр тербелісті зерттеу кезінде, әдетте, тек орныққан мәжбүрлі тербелістің амплитудасын анықтау талап етілетінін ескеріп, бұл есепті шешу үшін қолданылатын жуықтау әдісін қарастырайық.

Бұл әдіс бойынша, дененің нақты гармоникалық емес қозғалысының дифференциалдық теңдеуі (5.7.1) теңдеуінің мүшесін _{эквивалентті мүшемен алмастыру арқылы алынатын гармоникалық қозғалысымен алмастырылады. Мұндағы тұтқырлықтың эквиваленттік коэффициенті деп аталатын b тұрақты коэффициенті мынадай шарт арқылы анықталады: гармоникалық қозғалыс кезінде нақты кедергі күші} -тің бір период кезіндегі жұмысы эквиваленттік күш -тің жұмысына тең.

Бұндай әдіспен (5.7.1) сызықты емес жүйе, белгілі дәрежелік жуықтау арқылы сызықты жүйеге түрленеді. Бұл жағдайда тұтқырлықтың b эквиваленттік коэффициенті p және -ң әр түрлі мәндері үшін әр түрлі сан мәніне ие болады.

Мысал ретінде F құрғақ үйкеліс күші бар дененің мәжбүр тербелісін қарастырайық.

Дененің орныққан мәжбүр тербілісінің теңдеуі келесі түрде деп алайық:

_{мұндағы} -тербеліс фазасының ығысу бұрышы.

Ыдыраушы энергияны анықтайтын цикл үшін үйкеліс күшін жеңуге кеткен жұмыс:

_(а)

_{Дене қозғалысының кедергісі жылдамдыққа пропорционал болған кезде ыдырайтын энергияның шамасын анықтайық.}

_{Бұл жерде}

_Онда

_(ә)

_{Тұтқырлықтың эквиваленттік коэффициентінің шамасы (а) және (ә) қатынастарын салыстыру арқылы алынады:}

_бұдан

_(б)

_{Тұтқырлықтың эквивленттік коэффициентінің алынған мәнінен көретініміз, ол F күшінен басқа - тербіліс амплитудасы мен мәжбүр тербелістің p жиілігінен тәуелді.}

_{Орныққан мәжбүр тербеліс амплитудасын (5.5.1) формуласынан анықтаймыз, қарастырып отырған жағдай үшін ол мына түрде болды:}

_{Бұл жерде}

_және

Онда бұл мәндерді (5.5.1) формуласына қойып, алатынымыз

Бұдан

(г)

мұндағы _{-статикалық ауытқуы;}

мұндағы -динамикалық коэффициент.

динамикалық коэффициенті тек мына шарт орындалғанда ғана нақтф санға ие болады:

_(д)

_{Бұл шарт орындалғанда динамикалық коэффициент резонанс жағдайында, яғни p=kболғанда шексіздікке ұмтылады. Бұдан көретініміз, тіпті, үйкелістің едәуір шамасында да резонанс амплитудалары шексіздікке ұмтылады. Бұл құбылысты түсіндіру үшін ыдыраушы энергия шамасын ұйытқушы күш жұмысымен салыстырып көрелік.}

_{33-сурет.}

_{(ә) өрнегінен көретініміз, ыдырайтын энергия тербіліс амплитудасы квадратына пропорционал өседі.}

_{Ұйытқушы күштің бір циклде атқаратын жұмысын анықтайық:}

_{Бұдан көретініміз, ұйытқушы күштің бір циклде атқаратын жұмысы тербеліс амплитудасына пропорционал өседі.}

_{33-суретте ыдыраутын энергия шамасының өзгеруін парабола сызығы түрінде, ал берілетін энергия шамасының өзгеруін түзу сызықты түрінде алып, олардың қиылысу нүктесін анықтаймыз, бұл нүкте орныққан мәжбүр тербеліс амплитудасын анықтауға мүмкіндік береді.}

_{Егер (д) шарты сақталатын болса, онда тұрақты үйкеліс кезінде (а) өрнегімен анықталатын энергияның ыдырауы} -ға пропорционал. Сондықтан да 25-суреттегі, осы шығынды суреттейтін OE сызығының OD сызығына қарағанда көлбеулігі аз болады.

Бұл жағдайда әрқашан да алынған энегрия көп болады, сондықтан да тербеліс амплитудасы шексіз өседі.

Тербеліс фазасының ығысу бұрышын (5.3.9) формуласы арқылы анықтауға болады, қарастырып отырған жағдайда ол мына түрде болады:

Бұл формулаға барлық шамаларының мәндерін қоятын болсақ,

(5.7.2)

Бұдан шығатыны, қарастырып отырған мәжбүр тербеліс жағдайында тербеліс фазасының ығысу бұрышы қатынасынан тәуелді емес және тек резонанста (p=k кезінде) өзінің мәнін секірмелі түрде өзгертеді.

Еркіндік дәрежесі шекті сан болатын жүйенің еркін тербелісі