5. Решение систем по формулам Крамера.
Задача
№ 1.
Решить по формулам Крамера систему
.
Решение. Матричный метод.
Обозначим
Тогда
система запишется в виде AX=B
. Ее решение равно
Определитель матрицы А равен
Алгебраические дополнения элементов
матрицы А равны
. Далее,
.
.
По формулам Крамера имеем
.
Ответ. .
Задача № 2. (Типовая) Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера
Решение.
Вычислим
главный определитель системы
.
Вспомогательные определители равны
Тогда по формулам Крамера
.
Задача
№ 3.
(Типовая)
Решить в случае совместности систему
линейных уравнений по формулам Крамера
Решение. Вычислим главный определитель системы
.
Вспомогательные определители равны
,
,
.
Тогда по формулам Крамера
Задача №4. Решить в случае совместности систему линейных уравнений
Решение.
Составляем
матрицу систему
.
Определитель
этой матрицы равен
.
Вспомогательные определители равны
.
.
.
Тогда по формулам Крамера
.
Ответ.
.
6. Решение систем матричным методом.
Задача № 1. (Типовая) Решить систему линейных уравнений матричным методом
Решение. Решим исходную систему матричным методом. Составим матрицы
.
Определитель
матрицы А
равен
. Вычислим
алгебраические дополнения.
,
,
.
Обратная матрица
Решение системы
.
Ответ.
.
Исследование систем на совместность.
Задача № 1. (Типовая) Исследовать на совместность систему
Решение.
Получена
ступенчатая матрица. Из нее следует
,
ранг иатрцы системы равен рангу
расширенной матрицы. Система совместна.
Задача №2. Исследовать на совместность систему уравнений:
;
Решение. Здесь имеем случай, когда определитель матрицы системы
равен
нулю.
Поэтому
буквально правило Крамера применить
нельзя. Однако если мы подсчитаем
определитель
:
,
то обнаружим, что он отличен от нуля
,
отсюда заключаем, что система несовместна.
В самом деле, при выводе правила Крамера
мы переходим от данных уравнений к
уравнениям
.
Отсюда: если
,
а из определителей
хотя бы один не равен нулю, то исходная
система уравнений несовместна.
Решение систем методом Гаусса.
Задача
№ 1.
(Типовая)
Решить систему
линейных уравнений:
Решение
1.
Исследование на совместность.
Следовательно,
и система совместна.
2. Ищем число свободных параметров
n - r=2-1=1 - один свободный параметр.
3. Ищем неизвестные.
Ответ:
.
Задача № 2. (Типовая) Решить в случае совместности систему линейных уравнений
Решение. Составляем расширенную матрицу.
Р
анг
расширенной матрицы системы равен рангу
матрицы системы и меньше числа неизвестных,
следовательно, система имеет бесконечное
множество решений. Найдем общее решение
системы. Число свободных переменных
равно 3-2=1.
Задача № 3. (Типовая) Решить в случае совместности систему линейных уравнений
Решение. Составляем расширенную матрицу.
.
,
следовательно, система несовместна.
Ответ: система несовместна.