4. Раскраски

Говорят, что фигура покрашена в несколько цветов, если каждой точке фигуры приписан определенный цвет. Бывают задачи, где раскраска уже дана, например для шахматной доски, бывают задачи, где раскраску с данными свойствами нужно придумать, и бывают задачи, где раскраска используется как идея решения.

Задачи

4.1. Из шахматной доски вырезали две противоположные угловые клетки. Докажите, что оставшуюся фигуру нельзя разрезать на «домино» из двух клеток

Решение.

Каждая фигура «домино» содержит 1 белую и 1 черную клетку. Но в нашей фигуре 32 черных и 30 белых клеток (или наоборот).

4.2. Можно ли все клетки доски 9х9 обойти конем по одному разу и вернуться в исходную клетку?

Решение.

Каждым ходом конь меняет цвет клетки, поэтому, если существует обход, то число черных клеток равно числу белых, что неверно.

4.3. Дан куб 6х6х6. Найти максимально возможное число параллелепипедов 4х1х1 (со сторонами параллельными сторонам куба), которые можно поместить в этот куб без пересечений.

Идея решения.

Легко поместить 52 параллелепипеда внутрь куба. Докажем, что нельзя больше. Разобьем куб на 27 кубиков 2х2х2. Раскрасим их в шахматном порядке. При этом образуется 104 клетки одного цвета (белого) и 112 - другого (черного). Осталось заметить, что каждый параллелепипед содержит две черных и две белых клетки.

Ответ: 52.

4.4. Прямая раскрашена в 2 цвета. Докажите, что найдутся 3 точки А, В, С одного цвета такие, что AB = ВС.

4.5. Раскрасьте прямую в 3 цвета так, чтобы нельзя было найти трех точек А, В, С разного цвета таких, что AB = ВС.

5. Плоскость раскрашена а) в 2 цвета, б) в 3 цвета. Докажите, что найдутся 2 точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1

Идею, вынесенную в заглавие, хорошо иллюстрирует следующая задача. 4.6. Имеется квадрат 8Х8, у которого удалены две угловые клетки, расположенные на одной диагонали. Можно ли этот квадрат замостить костяшками домино размерами 1Х2? Решение дает нам правильная «шахматная» раскраска этой доски. Каждая костяшка домино закрывает две клетки разного цвета, в то время как клеток черного и белого цветов различное количество.

А вот еще две задачи на эту идею.

4.7. Участок прямоугольной формы разбит на квадраты, образующие n рядов по m квадратов в каждом ряду. Каждый квадрат является отдельным участком, соединенным калитками со всеми соседними участками. При каких m и n можно обойти все квадратные участки, побывав в каждом по одному разу, и вернуться в первоначальный?

Решение.

Раскрасим квадраты в шахматном порядке. При каждом переходе меняется цвет квадрата. Поэтому, если такой маршрут возможен, то число шагов должно быть четным, т. е. m или n четно. Осталось проверить, что в этом случае искомый маршрут возможен.

4.8. Все мы в детстве играли в «морской бой». Напомним, что играется он на квадрате 10Х10, на клетчатой бумаге. «Линкором» в этой игре называется «корабль» 1х4. В связи с этим возникает вопрос: можно ли весь квадрат для морского боя разрезать на 25 линкоров? А кстати, ответьте еще на один вопрос: какое наименьшее число «выстрелов» надо сделать, чтобы наверняка хотя бы один раз попасть в линкор, одиноко плавающий по морю?

Решение.

Раскрасим клетки в 4 цвета, как на рис. 36. Каждый «линкор» закрывает четыре клетки разного цвета. Но клеток цвета 2 всего 26, а «линкоров» должно быть 25.

Эта же раскраска помогает ответить и на второй вопрос. Наименьшее число выстрелов равно числу клеток цвета 4, т. е. 24.