Моделирование усеченных распределений
Пусть
на (a,b):
И пусть имеет усеченное распределение p1(x) , если распределена на (a`,b`)(a,b) и ее плотность p1(x) пропорциональна p(x).
Очевидно, что
, т.к.
Если мы умеем вычислять , то =, если (a`,b`).
Например,
на (0,)
Очень просто
моделировать
Тогда =, если 2, при этом эффективность=e-2.
Метод Неймана
Рассмотрим случайную величину на (a;b) с плотностью p(x)c:
Теорема 4.
Пусть 1
и 2
-независимые случайные числа,
Случайная величина определенная условием =, если <p(), имеет плотность вероятности p(x).
Доказательство: точка Q()~р.р. в квадрате (a<x<b, 0<y<c) (ее плотность 1/c(b-a))
Вычислим вероятность
-
по построению в теореме.
Плотность т.
.
Знаменатель равен
вероятности
Числитель =
Т.е.,
Что и требовалось доказать.
Эффективность метода Неймана э=p(<p(x))=1/c(b-a).
При выборе G для сложной области B следует стремиться к min G, т.к. э=пл.B/пл.G.
В данном методе следует выбрать c=sup p(x) на (a,b).
При выборе алгоритмов для расчета методами Монте-Карло различных задач необходимо выбрать преобразования для случайной величины .
Однозначно порекомендовать что-то нельзя. Выбор зависит от различных факторов.
Если время на получение одного значения стремится к min, то усложняется алгоритм (больше места или длиннее программа).
Быстрее всего работать с таблицей, но если качество одномерного распределения i хорошо проверено, то качество групп может быть хуже. Тогда =g(1n) при n 3 может быть менее точной, чем =g().
Тем не менее мы познакомились с несколькими преобразованиями и способами моделирования случайных величин. Теперь можно использовать их для любых расчетных задач.
Упражнения
Вывести явные формулы для расчета реализаций случайной точки (,) с плотностью p(x,y)=3y, определенной в треугольнике, ограниченном прямыми x=0, y=x, y=1.
Смоделировать случайную величину , определенную в интервале 0<x<d, с плотностью p(x)=ae-ax/(1-e-ad).
Смоделировать случайную величину с распределением, заданным в лабораторной работе №2 /2/.