XI должны быть выражены через yi.

Пример. Случайная точка Q(,,), равномерно распределенная в шаре x²+y²+z²<R² .

(x,y,z)-декартовы координаты т.Q.

И х совместная плотность в шаре постоянна:

Но координаты зависимы.

Перейдем к сферическим координатам: (r,,)

В новых координатах шар превращается в параллелепипед:

Якобиан преобразования

Тогда согласно правила преобразования новая плотность

следовательно, сферические координаты т. Q независимы.

Тогда

cos_Q=2₂-1, _Q=2_3.

Декартовы координаты точки Q:

Преобразования вида

Пусть ₁ и ₂ - два независимых случайных числа. Могут существовать функции g(x,y) такие, что случайная величина g(₁,₂) имеет функцию распределения F(x).

Рассмотрим несколько методов построения

В них вместо одномерной величины  моделируется двумерная случайная величина Q, по значениям которой нетрудно вычислить  .

Применение полярных координат

Допустим, что к случайной величине  удалось подобрать случайную величину  так, что плотность т.Q с декартовыми координатами  и  зависит только от расстояния до начала координат

Тогда удобно моделировать полярные координаты т.Q, а по ним вычислять :

Якобиан

Тогда плотность т.Q в полярных координатах

Полярные координаты т.

Пример. Смоделировать случайную величину ~N(0,1).

Выберем независимую от  случайную величину , также нормальную с параметрами (0;1). И рассмотрим на плоскости x,y случайную т.Q с декартовыми координатами  и .

Очевидно, что

Здесь .

Тогда - (т.к. якобиан равен r)

и равномерно распределена (0;1).

Тогда декартовы координаты

Получили сразу два значения нормальной случайной величины! Эти формулы позволяют по двум случайным числам ₁ и ₂ получить сразу два независимых значения случайной величины ₀, распределенной нормально с параметрами (0,1). Чтобы получить значения сл. величины , распределенной с параметрами (a, ²), необходимо нормировать случайную величину

(-a)/=₀, тогда =a+₀ .

Метод суперпозиции

Допустим, что ф.р. F(x) интересующей нас случайной величины  представима в виде

где все - также функции распределения, а С_k>0.

Следовательно, можно ввести дискретную случайную величину  с распределением

так, что P(=k)=C_k.

Теорема 3. Пусть ₁ и ₂-независимые случайные числа. Если по числу ₁ разыграть =k, затем из уравнения определить , то функция распределения =F(x).

Доказательство: По формуле полной вероятности вычислим функцию распределения величины , построенной в теореме:

ч.т.д.

Пример. Случайная величина  определена на 0<x<1 и имеет функцию распределения где все C_k0.

Считаем, что . Тогда, если то

Пример. Случайная величина  определена в 0<x<2 с плотностью

Если воспользоваться теоремой 2, то получим уравнение пятой степени, что не очень удобно. Воспользуемся методом суперпозиции.

Тогда на интервале (0,2) можно выделить плотность p₁(x)=1/2, тогда p(x)=(5/6)p₁(x)+(1/6)p₂(x), где p₂(x)=(5/2)(x-1)⁴ . Тогда получим явный алгоритм для моделирования : =2₂, если ₁<5/6, и = 1+(2₂-1)^1/5, если ₁>=5/6.

Упражнения:

1)  равномерно распределена на (4;7). Написать алгоритм моделирования сл.в. .

2)  имеет функцию распределения

Вывести явную формулу для моделирования .

3) Смоделировать  на (0;l) с плотностью

Преобразования вида

- независимые случайные числа.

Извлечение корней из случайного числа

Пусть  имеет распределение F(x)=xⁿ при 0<x<1.

Тогда  можно вычислить по формуле

Т.е. в любом алгоритме можно заменить извлечение корня из сл. числа взятием наибольшего из нескольких независимых сл. чисел.

Моделирование Гамма- распределения

Во многих задачах встречаются сл. в. , определенные при 0<x< с плотностью вероятностей

p_n(x)=(n-1)^-1x^n-1e^-x, n1.

Такие распределения часто встречаются в теории надежности. При n=1 получаем экспоненциальное распределение. Тогда при любом n значения ⁽ⁿ⁾ можно вычислять по формуле ⁽ⁿ⁾=-ln(₁₂…_n) - под знаком логарифма - произведение n сл. чисел.

Моделирование биномиальных распределений

Рассмотрим случайную величину , которая подчиняется биномиальному распределению с параметром p:

P(=k)=C_n^kp^k(1-p)^n-k, k=0,1,…,n.

Это вероятность того, что при n экспериментах некоторое событие произойдет ровно k раз, если в одном опыте вероятность его появления равна p. Конечно,  можно моделировать по Теореме 1, но, чтобы не вычислять все вероятности p_k, можно воспользоваться следующим алгоритмом. Для каждого из чисел ₁,₂,…,_n проверяется неравенство <p. Если это неравенство оказалось выполненным k раз, то =k. Т.е. .

Приближенное моделирование нормального распределения

Рассмотрим сумму n независимых равномерно распределенных

величин , M=n/2, D=n/12, тогда нормированная сумма ,

или .

Согласно ЦПТ при n распределение  стремится к нормальному.

Нормированная сумма n независимых одинаково распределенных величин ~N(0,1):

Причем асимптотика устанавливается очень быстро. Для n=12 .

Иногда ограничиваются лишь пятью слагаемыми, но зато добавляют поправку, которая ускоряет сходимость распределения к нормальному: .

Методы отбора

Пусть в некотором пространстве задана случайная точка с функцией распределения и некоторой областью

Рассмотрим случайную величину

Чтобы вычислить , надо выбрать QG. Если QB ,то вычисляется ; если QB , то точка Q отбрасывается и выбирается новая.

Т.е., из случайных точек Q с функцией распределения отбирают точки, принадлежащие B, и по ним вычисляется .

Формула определяет метод отбора.

В начале курса мы рассмотрели пример, где

Эффективностью метода отбора называют вероятность отбора, или вероятность того, что точка Q будет использована для расчета , а не будет отброшена.

т.е. эффективность метода

Выбрав N точек Q, мы используем (эффективность*N) точек для расчета . Очевидно, чем больше э(эффективность), тем лучше.