Моделирование непрерывных случайных величин

Предположим, что случайная величина  определена в интервале a<x<b и имеет плотность p(x)>0 на этом интервале. Обозначим через F(x) функцию распределения  на интервале a<x<b

, (4.4)

случай а=- и b= не исключается.

Теорема 2. Случайная величина , удовлетворяющая уравнению

F()= , (4.5)

имеет плотность распределения p(x).

Доказательство: т.к. функция F(x) строго возрастает в интервале (a,b) от F(a)=0 до F(b)=1, то уравнение (2) имеет единственный корень при каждом . При этом равны вероятности

И так как случайная величина  равномерно распределена в интервале (0,1), то

, что и требовалось доказать

В тех случаях, когда уравнение (2) аналитически разрешимо относительно , получается явная формула =G() для разыгрывания случайной величины , где G(y) -обратная функция по отношению к y=F(x).

Пример 1. Экспоненциальная случайная величина  определена на (0, ) с плотностью p(x)=ae^-ax, тогда

. (3.4)

Уравнение (2) примет вид 1-e^-a=, откуда = -(1/a)ln(1-), или, учитывая, что (1-) тоже распределена равномерно на (0,1), = -(1/a)ln.

Пример 2. Смоделировать сл.в. , равномерно распределенную на интервале (a, b).

Решение. Плотность равномерно распределенной величины равна константе k. Тогда из условия нормировки

, откуда . По Th.2 F()=. Найдем F():

. Отсюда =a+(b-a) .

Упражнения

1. Выполнить упражнения к лаб. р. №1 (/2/).

2. Смоделировать случайную величину , распределенную по закону Релея с плотностью p(x)=(x/c²)exp(-x²/2c²), 0<x<.

3. Смоделировать сл. в. , распределенную по экспоненциальному закону с порогом с плотностью p(x)=a*exp(-a(x-x₀)), x₀<x<.

Моделирование n-мерной случайной точки с независимыми координатами

Если координаты n-мерной случайной величины независимы, то функция распределения

, где функция распределения _i.

В этом случае можно моделировать любую величину _i независимо: , i=1,2,…,n; _1,…, _n-независимые случайные числа.

Пример. Случайная точка Q в декартовых координатах (₁,₂) р.р. в прямоугольнике

Плотность вероятностей точки Q постоянна в П:

Тогда: ,

Следовательно, ₁ и  ₂ равномерно распределены в интервалах (a₁,b₁), (a₂,b₂). И эти координаты независимы.

Тогда

Отсюда

1. Пример. См. Сл. Точку q(,η), равномерно распределенную в прямоугольнике (-3; 2)х(1; 4).

Решение. Длина прямоугольника равна 2-(-3)=5, высота равна 4-1=3. Площадь равна 5*3=15. Следовательно, плотность точки Q равна 1/15.

Абсцисса  - случайная величина, равномерно распределенная на (-3; 2) с плотностью 1/5 (единица, деленная на длину интервала), ордината η - случайная величина, равномерно распределенная на (1; 4) с плотностью 1/3.

Отсюда =-3+5 γ₁, η=1+3γ₂.

Преобразования случайных величин не ограничиваются методом обратных функций, которыми являются Теорема 1 и Теорема 2.

Существуют и другие преобразования.

Замена переменных

Пусть

Если плотность случайной точки в то плотность случайной точки в , где , равна