Лекция 3. Преобразования случайных величин

В этой части курса рассмотрены преобразования, позволяющие с помощью случайных чисел  вычислять значения любой случайной величины . Такие вычисления называют моделированием случайной величины , или разыгрыванием случайной величины .

Моделирование дискретных случайных величин

Рассмотрим дискретную случайную величину  с распределением

= , (3.1)

где p_i=P(=x_i).

Для того, чтобы вычислить значения этой величины, разделим интервал (0,1) на интервалы _i такие, что длина _i равна p_i .

Теорема 1. Случайная величина , определенная формулой =x_i, когда _i , имеет распределение вероятностей (1).

Доказательство. P(=x_i)=P(_i)=длина _i=p_i. что и требовалось доказать.

Для практической реализации Теоремы 1 надо разделить интервал (0,1) на n частей.

Δ₁ Δ₂ Δ₃ Δ₄ … Δ_N

0 p₁ p₁+p₂ p₁+p₂+p₃ … 1 x

Для того, чтобы вычислить очередное значение , находим очередное . Затем сравниваем  с p₁. Если <p₁ (₁), то =x₁; если p₁, то сравниваем  с p₁+p₂ . Если < p₁+p₂ , то =x₂; если p₁+p₂ , то сравниваем  с p₁+p₂ +p₃ и т.д.

If <p₁ then =x₁ else

If <p₁+p₂ then =x₂ else

…

Моделирование случайных событий

Моделирование случайных событий сводится к моделированию дискретных случайных величин. Рассмотрим 4 задачи, в каждой из которых требуется моделировать последовательность одинаковых независимых испытаний.

1. В каждом из испытаний может наступить или не наступить некоторое событие А, вероятность наступления которого P(A)=p. Рассмотрим случайную величину , которая равна 1 при наступлении А и равна 0 при наступлении противоположного события А. Распределение  задается рядом распределения

= . (3.2)

Согласно Теореме 1 для осуществления каждого испытания надо найти сл. число  и проверить неравенство <p. Если оно выполнено, то событие А в этом испытании произошло, а если p, то нет.

2. С испытанием связана полная группа попарно несовместных событий A₁, A₂,…, A_n и заданы вероятности P(A_i)=p_i.

Для моделирования таких испытаний рассмотрим случайную величину  - номер наступившего события. Очевидно, распределение  выражается рядом распределения

= , (3.3)

Для осуществления каждого испытания надо выбрать случайное число  и по Теореме 1 разыграть значение . Если =i, то произошло событие A_i.

3. С испытанием связаны 2 независимых совместных события A и B, вероятности которых заданы: P(A)=p_A, P(B)=p_B.

Ввиду независимости событий A и B можно последовательно моделировать их наступление в каждом испытании: сначала по числу ₁ определить, наступило ли событие А (по 2.1.), а затем по числу ₂ определить, наступило ли событие В. То есть, используем 2 случайных числа .

Но более экономичен другой способ. Рассмотрим полную группу попарно несовместных событий

A₁=AB, A₂=AB, A₃=AB, A₄=AB.

Вероятности этих событий легко вычислить.

p₁=p_Ap_B, p₂=p_A(1-p_B), p₃=(1-p_A)p_B, p₄=(1-p_A)(1-p_B).

Тогда метод позволяет, используя одно случайное число , определить, какой из этих четырех исходов наступил в моделируемом испытании.

4. С испытанием связаны два зависимых совместных события А и В. Заданы вероятности P(A)=p_A, P(B)=p_B, P(AB)=p_AB.

В этом случае также следует рассмотреть полную группу событий (см.2.3.), только вероятности этих событий вычисляются иначе:

p₁=p_AB, p₂=p_A-p_AB, p₃=p_B-p_AB, p₄=1-p_A-p_B+p_AB.