Вопрос 36. Синтез сау по желаемой передаточной функции.

Метод применяется для систем с передаточной функцией вида: W_з(p)=k/a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₁p+a₀=k^|/pⁿ+a^|_n-1p^n-1+…+a^|₁p+a^|₀, k^|=k/a_n, a^|_i= a_i/a_n, i=1..n-1

1.1. задаёмся желаемой передаточной функцией

замкнутой системы W_зж(p) с параметрами, обеспечивающими необходимые параметры замкнутой системы.

2)введение реальных корректирующих связей добиваясь, чтобы коэффициенты исходной передаточной функции стали как можно ближе к коэффициентам желаемой передаточной функции.

1)Выбор. Имеем 2 наиболее вероятных случая:

Требуется обеспечить апериодический переходный процесс без перерегулирования Этому соответствует передаточная функция с отрицательными вещественными корнями знаменателя p₁, p₂…p_n. По теореме Виета p_1*p_2*…p_n=a^|₀. Мерой длительности переходного процесса в такой системе является средний геометрический корень: W₀=ⁿÖ(|p_1*p_2*…p_n|) =ⁿÖ(| a^|₀|). Чем больше W₀, тем меньше время регулирования. Причём известно что для системы заданного порядка минимальная длительность переходного процесса соответствует случаю кратких корней. p₁=p₂=…=p_n=-W. Тогда желаемую передаточную функцию можно представить в виде: W_ж(p)=k^|/(p-p)ⁿ= k^|/(p+W₀)ⁿ; n=1 W_ж(p)=k^|/(p+W₀) t_п=W_0*t_п=3 t_п=3/W₀;

n=2 W_ж(p)=k^|/(p²+2W₀p+W₀²) t_п=W_0*t_п=4.8; n=3 W_ж(p)=k^|/(p³+3W₀p²+3W²₀p+W₀³, t_п=W_0*t_п=6; n=4 W_ж(p)=k^|/(p+W₀)⁴ t_п=W_0*t_п=7.5 Допускается перерегулирование d=10¸15%. Рекомендуется желаемую передаточную функцию представить в виде фильтра Баттерворта. Передаточная функция фильтра Баттерворта содержит множитель, соответствует колебательному звену. Фильтр Баттерворта обеспечивает более быстрый переходный процесс, по сравнению с апериодическим, и в то же время обеспечивает достаточно хорошее затухание колебаний. n=2 W_ж(p)=k^|/(p²+1.41W₀p+W₀²) t_п=W_0*t_п=4.5 d=5% ; n=3 W_ж(p)=k^|/(p³+2W₀p²+2W²₀p+W₀³) t_п=W_0*t_п=6.25 d=9%; n=4.

Выбор конкретной передаточной функции определяется требованиями к переходному процессу. После этого, исходя из требуемой длительности переходного процесса определяем W₀ и n. Порядок n обычно берут 2 или 3. после n определяем значение корня и вычисляем коэффициенты желаемой передаточной функции. В результате получаем W_ж(p)=k^|/(pⁿ+a^*_n-1p^n-1+…+a^*₁p+a^*₀). Желаемая передаточная функция не может быть реализована изменением параметров исходной системы. Необходимо провести структурный синтез.

W_з(p)[k^|/(pⁿ+a^|_n-1p^n-1+…+a^|₁p+a^|₀)]/[1+k^|*(C_n-1p^n-1+C_n-2p^n-2+C₁p+C₀)/(pⁿ+a^|_n-1p^n-1+…+a^|₁p+a^|₀)]==k^|/[pⁿ+

(a^|_n-1+k^|C_n-1)p^n-1+…++(a^|₁+ k^|C₁)p¹+(a^|₀+ k^|C₀)]

Сравнивая коэффициенты находим коэф. обратной связи С_i.a^*₀=a^|₀+k^|C₀ C₀= (a^*₀-a^|₀)/k^|; a^*_i=a^|_i+k^|C_i C_i=(a^*_i-a^|_i)/k^| C₀-коэф. постоянно действующей обратной связи; С₁-коэф. при p=d/dt, коэф. обратной связи по скорости; С₂-коэф. обратной связи по ускорению; и т.д. Эти обратные связи только во время переходных процессов. Такие ОС называются гибкими. Теоретически такой синтез получается достаточно простым. Но практически эта схема не реализуема, т.к. требуется выполнить идеальное дифференцирование I, II, … порядка.