8. Граничные условия

Рассмотрим постановку граничных условий опирания пластинки и их выражения для функции прогиба.

Для начала рассмотрим эти условия для граней пластинки параллельных осям прямоугольной системы координат.

На рис. 4.1 показаны стандартные условия опирания пластинки: жесткая заделка, шарнирное опирание, свободное опирание. К нестандартным условиям опирания пластинки отнесем упругое опирание и упругую заделку, которые будут рассмотрены ниже.

Любой край пластинки может иметь как однородные (неизменные) условия опирания, так различные условия опирания на частях края. Варианты стандартного опирания пластинки приведены на рис. 4.1,6. В плане пластинки шарнирное опирание обозначается пунктиром (рис. 4.1,б).

а/. При заделке в сечении х=х₀=const равны нулю прогиб и угол поворота по оси х равны нулю –

; . (4.1,а)

Аналогично при заделке в сечении у=у₀, получаем

; . (4.1,б)

б/. При шарнирном опирании в сечении х=х₀=const равны нулю прогиб и изгибающий момент. ; . С учетом формул (2.1) из второго условия имеем . Но из условия следует, что . Следовательно, окончательно получаем условие шарнирного опирания в сечении х=х₀:

и . (4.2,а)

Аналогично, при шарнирном опирании в сечении у=у₀=const :

и . (4.2,б)

в/. Рассмотрим условия опирания свободного от закреплений края. Очевидно, что все напряжений на этом краю равны нулю и, следовательно, равны нулю все виды равнодействующих напряжений :

; ; . (4.3)

Таким образом на свободном краю мы получили 3 граничных условия. Но, решение дифференциального уравнения 2-го порядка позволяет удовлетворять только по 2 граничных условия. Это противоречие связано с гипотезами Кирхгофа, позволившим построить приближенную теорию изгиба пластин.

Чтобы обойти противоречие, на свободном краю вводят понятие обобщенной поперечной силы, являющейся комбинацией поперечной силы и крутящего момента. Для этого крутящие моменты Hdy и на соседних малых элементах dx (в сечении х=х₀=const) заменяют парами сил H и . Суммируя вектора пар сил на границе дух элементов приводим действие крутящих моментов к эквивалентной поперечной силе (рис. 4.2).

Суммируя поперечную силу Q_x и приведенную поперечную силу от крутящего момента (на единицу длины сечения) получаем обобщенную поперечную силу в сечении .

Аналогично в сечении у=у₀=const - . С учетом формул (4.1) (4.5). получим:

;

. (4.4)

Граничные условия на свободных от закреплении краях получаем, приравнивая нулю изгибающий момент и обобщенную поперечную силу. В сечении х=х₀=const



;  . (4.5,а)

В сечении у=у₀:



;  . (4.5,б)

Использование обобщенной поперечной силы допустимо в рамках используемой приближенной теории. В реальной же пластинке при обобщенной силе равной нулю не означает равенства нулю каждого из слагаемых – поперечной силы и крутящего момента. Следовательно мы получаем на свободной кромке x=const решение с некоторой системой касательных напряжений _zх (соответственно Q_x) и _yх (соответственно H). Эти усилия уравновешены в сечении и, согласно принципу Сен-Венана, им отвечает дополнительное поле напряжений, быстро затухающее при удалении от кромки в глубь пластинки и не влияющие на напряженной состояние в основной части пластинки.

Следует отметить, что при приведении крутящего момента к эквивалентной поперечной силе в угловых точках возникают сосредоточенные силы, равные удвоенным значениям крутящего момента (рис.4.3)

. (4.6)

Если кромки пластинки сходятся в угловой точке под углом, отличным от 90, то значение силы R будет зависеть от угла между кромками.