25. Обработка и обобщение результатов исследований. Графический анализ результатов эксперимента. Методы подбора эмпирических формул.

В процессе экспериментальных исследований получается статистический ряд измерений двух величин, когда каждому значению функции y_1,y₂,y_nсоответствует определенное значениеx₁,x₂,..,Хп. На основе экспериментальных данных можно подобрать алгебраические выражения функции

y = f(x), (8.13) которые называют эмпирическими формулами. Такие формулы подбираются лишь в пределах измеренных значений аргумента х₁ – x_nи имеют тем большую ценность, чем больше соответствуют результатам эксперимента.

Необходимость в подборе эмпирических формул воз­никает во многих случаях. Так, если аналитическое выражение (8.13) сложное, требует громоздких вычислений, составления программ для ЭВМ или вообще не имеет аналитического выражения, то эффективнее пользоваться упрощенной приближенной эмпирической формулой.

Эмпирические формулы должны быть по возможности наиболее простыми и точно соответствовать экспери­ментальным данным в пределах изменения аргумента. Таким образом,

Эмпирические формулы являются приближенными выражениями аналитических формул. Замену точных аналитических выражений приближенными, более простыми называют аппроксимацией, а функции — аппроксимирующими.

Процесс подбора эмпирических формул состоит из двух этапов. Данные измерений наносят на сетку прямоугольных координат, соединяют экспериментальные точки плавной кривой и выбирают ориентировочно вид формулы. Вычисляют параметры формул, которые наилучшим образом соответствовали бы принятой формуле. Подбор эмпирических формул необходимо начинать с самых простых выражений: y = а + bх, (8.14)

где а, b – постоянные коэффициенты. Поэтому при анализе графического материала необходимо по возможности стремиться к использованию линейной функции. Для этого применяют метод выравнивания, заключающийся в том, что кривую, построенную по экспериментальным точкам, представляют линейной функцией.

Для преобразования некоторой кривой (8.13) в прямую линию вводят новые переменные: Х = f₁(х, у), У = f₂(х, у).(8.15)

В искомом уравнении они должны быть связаны ли­нейной зависимостью У = а + bХ.(8.17)

Для определения параметров прямой можно применить также другой графический метод. В уравнение (8.17) подставляют координаты двух крайних точек, взятых с графика. Получают систему двух уравнений, из которых вычисляютаиb.После установления параметроваиbполучают эмпирическую формулу (8.16), которая связывает У иX,позволяет установить функциональную связь междухиуи эмпирическую зависимость (8.14).

Таким образом, аппроксимация экспериментальных данных прямолинейными функциями позволяет просто и быстро установить вид эмпирических формул.

Графический метод выравнивания может быть применен в тех случаях, когда экспериментальная кривая на сетке прямоугольных координат имеет вид плавной кривой.

Графический анализ результатов эксперимента

Результаты физического эксперимента после их первичной обработки и определения погрешности измерений заносятся в специальные таблицы. Далее производится проверка полученных результатов для оценки их достоверности и исключения точек, имеющих грубые погрешности. При этом используются рекомендации, изложенные в самом начале лекции.

Анализ полученных результатов проводится, как правило, с использованием графиков. Графическое изображение результатов исследования дает наглядное представление о качестве выполненного эксперимента, позволяет установить основные закономерности исследуемого явления, его экстремальные точки и т. д. С помощью графиков проще всего оценить степень согласования экспериментальных и теоретических результатов, вычислить некоторые величины, важные для данного явления (например, темп охлаждения или нагревания в регулярном тепловом процессе). При графическом анализе продолжается анализ достоверности полученных данных, на этом этапе могут быть выявлены дополнительные и грубые погрешности.

Графическое изображение результатов дает хорошее представление о зависимости одного параметра от другого. В связи с этим оно получило широкое распространение и в вычислительном эксперименте.

Плоскость, на которой задается система координат, называется координатной. Прямоугольная (или декартова) система координат характеризуется линейной единицей исследуемой величины и имеет две взаимно перпендикулярные числовые оси. Точка пересечения осей называется началом координат и обозначается О, а оси называются координатными. Одна из них — это ось абсцисс (обозначение Ох), другая — ось ординат (обозначение Оу). В отдельных случаях при построении графиков используются полярная система координат, в которой положение точки на плоскости определяется полярным углом и расстоянием от полюса до данной точки, а также цилиндрическая и сферическая системы координат.

При построении графических зависимостей используются определенные правила и рекомендации, которые позволяют получить максимально возможную информацию об исследуемом явлении, сделать правильные выводы о его закономерностях, определить поведение функции в определенной области изменения ее переменной.

Масштаб координатных осей по возможности должен быть простым: единице измеренной величины (1, 10, 100 и т. п.) должен соответствовать 1 см на координатных осях. Цене наименьшего деления приблизительно должна соответствовать значению погрешности исследуемой величины. При более крупном масштабе будет большой разброс экспериментальных точек, затрудняющий анализ, при более мелком — случайные отклонения будут сглаживаться, и сделать вывод о качестве эксперимента будет невозможно. Для построения графиков используется чаще всего миллиметровая бумага.

26.Понятие о корреляционном анализе.

Корреляция – взаимное соотношение показателей в опыте, их зависимость между собой. Например, зависимость массы урожая от атмосферных осадков (простая, парная корреляция) или же зависимость массы урожая от атмосферных осадков, температуры воздуха, его влажности, удобрений и т. п. (множественная корреляция). Эти зависимости выражаются коэффициентом корреляции, который обозначаются буквой r.

Под корреляционным анализом понимают исследование закономерностей между явлениями и (процессами), которые зависят от многих, иногда неизвестных факторов.

Когда одному значению Х соответствует несколько значений (совокупность) У, то между этими переменным и существует не вполне определœенная связь, а функция У=f(X) является корреляционной. Установление корреляционных зависимостей между величинами Х и У возможно лишь при наличии большого количества измерений.

Суть корреляционного анализа сводится к установлению уравнения регрессии (вида кривой между случайными величинами), оценке тесноты связей и достоверности результатов измерений, ᴛ.ᴇ. сущность анализа состоит в выявлении возможности получения аналитической зависимости У от Х по статистическим измерениям. Область расположения умеряемых величин в прямоугольной системе координат принято называть корреляционным полем. По форме поля можно судить о наличии корреляционной связи между Х и У и форме графика, характеризующей прямолинœейную или криволинœейную зависимости.

В простейшем и часто встречающемся случае конкретная зависимость У = f (X), называемая уравнением регрессии, должна быть аппроксимирована уравнением прямой.

Средняя линия корреляционного поля, для которой соблюдается условие наименьших квадратов,   , принято называть линией регрессии.

Тесноту связи, ᴛ.ᴇ. близость корреляционной зависимости между Х и У к линœейной функции, оценивают коэффициентом корреляции t. Значение коэффициента корреляции всœегда меньше единицы. При коэффициенте корреляции равном единице величины Х и У связаны функциональной связью, ᴛ.ᴇ. каждому значению Х соответствует одно значение У. Обычно считают тесноту связи удовлетворительной при t ³ 0,5; хорошей – при t £ 0,8 ... 0,85.

Проверка адекватности теоретических зависимостей экспериментальным данным

В результате эксперимента получают статистический ряд однофакторных или многофакторных измерений, который подвергают обработке, анализу, подбирают эмпирические формулы и устанавливают их достоверность.

В процессе проведения эксперимента возникает потребность проверить гипотезу исследования, ᴛ.ᴇ. соответствие, или адекватность, экспериментальных данных теоретическим предпосылкам.

Методы оценки адекватности основаны на использовании доверительных интервалов, позволяющих с заданной доверительной вероятностью определять искомые значения оцениваемого параметра. Суть проверки на адекватность состоит в сопоставлении полученной или предполагаемой функции с результатами измерений. Для оценки адекватности применяют критерии согласия Фишера, Пирсона, Романовского и Колмогорова.