Практика № 22. Ряды Фурье.
Задача 1. Разложить в тригонометрический
ряд Фурье функцию
на (-1,1).
Решение. Так как функция нечётная,
то все коэффициенты
и
равны 0. Поэтому считаем только
.
Учитываем, что
.
.
Вычисляем интеграл по частям.
,
,
,
.
Тогда
=
так как косинус чётная функция, то
далее
=
=
=
.
Ответ.
.
Задача 2. Разложить в триг. ряд Фурье
на (-1,1)
Решение. Заметим, что функция
нечётная. То есть, f это
сумма нечётной и константы. Таким
образом, коэффициенты
здесь тоже окажутся равны 0. Надо вычислить
и
.
=
=
,
.
.
Вычисляем интеграл по частям.
,
,
,
.
Тогда
=
=
=
=
=
.
Ответ. Ряд Фурье:
.
Замечание. Для поиска коэффициентов можно было воспользоваться результатом, полученным в задаче 1.
=
первое слагаемое содержит интеграл,
равный в итоге
а второе равно 0. Тогда
=
.
Задача 3. Найти ряд Фурье для
Решение. Здесь функция не является чётной либо нечётной, поэтому надо будет искать все коэффициенты.
При этом, на левой и правой части интервала надо считать отдельно, ведь там функция задана по-разному.
=
=
,
.
.
Первый интеграл вычисляется методом
«по чсатям», второй просто в один шаг.
Кстати, для убодства вычислений можно раскрыть скобки и объединить так:
=
.
Тогда интеграле по частям остаётся не
скобка, а только
.
,
,
,
.
Тогда
=
=
=
=
=
=
.
=
В первом
,
,
,
.
Тогда
=
=
=
Ответ. Ряд Фурье:
.
Ниже показан чертёж к этой задаче, получившийся в результате работы программы. Видно, что чем больше n, тем более точно кривая огибает ломаную.
Задача 4. Разложить в тригонометрический
ряд Фурье:
.
Решение. Здесь функция ступенчатая,
поэтому вычислять интегралы по частям
не придётся, будет в 1 шаг. Но разбивать
на две части надо, т.к. функция задана
по-разному справа и слева от 0. Кроме
того, надо учесть, что
здесь.
=
= 6. Тогда
.
Кстати, это и есть средняя высота графика
этой функции.
=
так как синус любого угла, кратного
,
есть 0. В ряде Фурье не будет косинусов.
Впрочем, об этом можно было догадаться
и сразу и не считать интегралы: ведь
если сместить этот график вниз на 3, то
получится нечётная функция.
=
=
притом здесь мы уже сразу учли чётность
косинуса, что
.
Итак,
=
=
=
.
Ответ. Ряд Фурье:
.
Задача 5. Разложить в тригонометрический
ряд Фурье
на
интервале (-1,1).
Решение. Сначала исследуем, что
такое
и как это выражение ведёт себя на разных
частях интервала:
.
Поэтому здесь на левой части интеграл считать не надо, он равен 0. Остаётся только на (0,1).
,
.
интегрируем по частям:
,
,
,
.
Тогда
=
=
=
.
тоже по частям,
,
,
,
.
Тогда
=
=
=
.
Ответ.
.
Числовые ряды и ряды Фурье, их взаимосвязь.
Задача 6. С помощью разложения функции
в тригонометрический ряд Фурье в
можно найти суммы рядов
и
.
Решение. Функция является четной,
.
=
=
=
.
в силу чётности равно
,
такой интеграл можно найти с помощью
интегрирования по частям в 2 шага. Сначала
,
.
=
=
.
Затем 2-й шаг,
,
.
=
=
=
=
.
Итак,
,
,
.
Разложение функции в ряд Фурье:
то есть
.
Подставим
.
,
то есть
,
из чего следует
.
Подставим
.
,
то есть
,
из чего следует
.
Ответ. , .
ПРАКТИКА № 23 (последняя).
1. Контрольная работа по рядам Тейлора, Лорана,Фурье.
2. Написание пропущенных контрольных задач за семестр.
Номера практик по датам для групп 446-1, 446-2 согласно расписанию
-
Практика №
446-1
446-2
1
14.02.17
14.02.17
2
21.02.17
17.02.17
3
21.02.17
21.02.17
4
28.02.17
28.02.17
5
07.03.17
03.03.17
6
10.03.17
07.03.17
7
14.03.17
14.03.17
8
21.03.17
17.03.17
9
24.03.17
21.03.17
10
28.03.17
28.03.17
11
04.04.17
31.03.17
12
07.04.17
04.04.17
13
11.04.17
11.04.17
14
18.04.17
14.04.17
15
21.04.17
18.04.17
16
25.04.17
25.04.17
17
02.04.17
28.04.17
18
05.04.17
02.05.17
19
16.05.17
12.05.17
20
19.05.17
16.05.17
21
23.05.17
23.05.17
22
30.05.17
26.05.17
23
02.06.17
30.05.17