Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Весна 2017 гр 446 практика ч2.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

1.42 Mб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

ПРАКТИКА № 18 Числовые ряды.

Задача 1. Найти сумму ряда. .

Решение. Чтобы разбить на группы слагаемых, часть из которых будет взаимно сокращаться, сначала разложим знаменатель на множители: затем надо разбить на простейшие дроби. = , откуда , , получаем систему , отсюда .

Тогда ряд можно представить так: = = Здесь для любого знаменателя, начиная от 3 и выше, всегда есть отрицательная дробь с таким знаменателем, а через 2 шага точно такая же положительная. Таким образом, сокращается всё, кроме .

Ответ. .

Выяснить сходимость.

Задача 2. Выяснить, сходится или расходится ряд .

Решение. По интегральному признаку Коши, можем рассмотреть несобственный интеграл, эквивалентный данному ряду по сходимости. = = = = .

Интеграл расходится, значит, и ряд расходится.

Ответ. Расходится.

Задача 3. Выяснить, сходится или расходится ряд .

Решение. Заметим, что для любого . Тогда ряд (по признаку сравнения) можно ограничить сверху другим рядом, < , который, в свою очередь, сходится, так сходится эквивалентный ему несобственный интеграл (заменяем по интегральному признаку Коши). Итак, ответ: ряд сходится (добавим, что сходится абсолютно, так как все слагаемые и так положительны).

Ответ. Сходится.

Задача 4. Выяснить, сходимость ряда .

Решение. По признаку сравнения в непредельной форме, , таким образом, этот ряд получается больше, чем некоторый расходящийся > . Гармонический ряд расходится, это было доказано в лекциях ранее. Поэтому ответ: расходится.

Замечание. Здесь есть и 2-й способ - по интегральному признаку Коши. Ряд эквивалентен интегралу = =

= .

Ответ. Расходится.

Выяснить сходимость по признаку Даламбера:

Задача 5. Выяснить, сходимость ряда .

Решение. Запишем предел отношения последующего (n+1) члена ряда к предыдущему (n). Модули здесь не особо нужны, так как все члены ряда и так положительны, т.е. если сходимость есть, то она заодно и абсолютная.

= = = =0.

Итак, , ряд сходится (абсолютно).

Ответ. Сходится абсолютно.

Задача 6.

Решение. Запишем предел отношения модуля (n+1) члена ряда к модулю n-го. При этом мы отбрасываем знакочередование.

= = =

= .

Итак, , ряд сходится (абсолютно).

Ответ. Сходится абсолютно.

Задача 7. Выяснить сходимость ряда: .

Решение. По признаку Даламбера.

, = .

Тогда = =

= = .

ряд сходится (абсолютно).

Ответ. Сходится абсолютно.

Задача 8. Выяснить сходимость ряда .

Решение. По признаку Даламбера.

, Тогда = =

= = = = , ряд расходится.

Ответ. Расходится.

Задача 9. Выяснить сходимость ряда .

Решение. Здесь можно действовать по радикальному признаку Коши.

= = = =

используя 2-й замечательный предел, получаем . , ряд сходится (абсолютно).

Ответ. Сходится абсолютно.

Задача 10. Выяснить сходимость ряда .

Решение. По радикальному признаку Коши:

= = = . Здесь даже не надо использовать 2-й замеч. предел, так как нет неопределённости: и числитель, и знаменатель стремятся каждый к конечному числу.

= = < 1, абсолютно сходится.

Так как мы изначально рассматривали модуль, то сходимость абсолютная.

Ответ. Сходится абсолютно.

Задача 11. Выяснить сходимость ряда .

Решение. Заметим, что , тогда . Таким образом, , то есть слагаемые не уменьшаются и не стремятся к нулю, тогда по необходимому признаку ряд расходится. Не выполнено необходимое условие сходимости (слагаемые должны уменьшаться к 0 при росте n).

Ответ. Расходится.

Поиск области сходимости функциональных рядов.

Задача 12. Найти область сходимости ряда .

Решение. По признаку Даламбера, надо найти отношение модуля следующего слагаемого к модулю предыдущего, причём здесь мы это делаем для произвольного параметра .

= = .

Теперь надо решить неравенство . Если , то есть область гарантированной абсолютной сходимости. За пределами этого интервала расходимость. А вот поведение ряда в граничных точках и 1 надо исследовать вручную, подставляя каждую точку и получая числовой ряд.

При : , такой ряд сходится, так как степень 2, больше 1, (про это был факт в лекциях).

При : , такой ряд тем более сходится, причём абсолютно, так как по модулю было бы , а этот ряд сходится (только что заметили, на 1 строку выше).

Таким образом, точки и 1 здесь тоже войдут в область сходимости, и ответ: ряд абсолютно сходится в [-1,1].

Ответ. Сходится абсолютно в [-1,1].

Задача 13. Найти область сходимости ряда .

Решение. По признаку Коши, = ,

Замечание: есть и 2-й способ: по признаку Даламбера.

= , то есть в итоге всё равно пришли к тому же неравенству.

, что равносильно: или , т.е. . Для граничных точек получаются числовые ряды , либо ,

для которых нет сходимости (по необходимому признаку, т.к. слагаемые не стремятся к 0).

Ответ. Ряд абсолютно сходится в .

Практика № 19

Задача 1. Найти область сходимости ряда .

Решение. По радикальному признаку Коши, = , тогда , аналогичное неравенство можно получить и по признаку Даламбера:

= .

Это равносильно выполнению одновременно двух неравенств: .

Для правого неравенства, получаем , корни , оно верно для .

Для левого неравенства, , но это выполняется на всей числовой прямой, т.к. корней нет, а ветви этой параболы направлены вверх. Верно для . Пересечением этих двух множеств является интервал .