6. Порядок составления уравнений, описывающих работу элементов систем управления

В целях формализации процесса составления исходных ДУ систем используют такие методы, как "Метод контурных токов", "Метод узловых потенциалов" и их аналоги. В результате их применения получается единая система:

(1)

где:

• x₁, x₂, ..., xk - обобщенные координаты системы, в том числе (для САР) ошибка - x(t) и регулируемая величина - y(t);

• f₁(t), f₂(t), ..., fk(t) - внешние координаты - задающие g(t) и возмущающие f(t) воздействия.

Для удобства и формализации решений систему уравнений (1) могут представить в одной из пяти стандартных форм:

1. в форме Коши;

2. в пространстве состояний;

3. решенную относительно регулируемой величины - y(t);

4. решенную относительно ошибки - x(t);

5. в виде передаточных функций - W(p), ω(p), ωx(p).

7. Математическое описание систем управления

Форма Коши - матричная форма записи системы ДУ решенных исключительно относительно первой производной координат САУ:

• x₁, x₂, x₃ - собственные координаты системы - ошибка системы x(t), воздействие на объект u(t), выходная координата - y(t), ...;

• a₁₁, ... , a₃₃ - постоянные коэффициенты (если система не является зависимой от параметра) - суммы и произведения постоянных времени Tj, коэффициентов усиления Kn;

• f₁, f₂, f₃ - воздействия на систему - сигнал задания g(t), помехи fj(t).

О форме Коши:

• Применяется в теории управления не часто.

• Удобна, если для расчетов использовать классические математические пакеты: MathCAD, MATLAB, Mathematica, Maple, Derive.

• Используется при построении аналоговых вычислительных моделей матричного типа (например, моделей на операционных усилителях).

• Уравнения могут быть решены относительно любой из фазовых координат xi.

Пространство состояний (ABCD-форма) - матричная форма записи системы ДУ САУ адаптированная для теории управления путем выделения из формы Коши алгебраических уравнений связывающих внутренние координаты САУ с выходной(ыми). Применяется для описания САР большого порядка, как правило, с несколькими входами / выходами и с перекрестными связями.

Изображенная на рисунке блок-схема позволяет решить систему ДУ представленную в форме "Пространства состояний":

• xm _x 1 - вектор входных переменных;

• yk _x 1 - вектор выходных переменных;

• un _x 1 - вектор переменных состояния (фазовых координат системы);

• An _x n - матрица коэффициентов системы;

• Bn _x m - матрица входных коэффициентов (матрица управления);

• Ck _x n - матрица выходных коэффициентов;

• Dk _x m - матрица коэффициентов пропорциональных каналов (матрица компенсации);

• n - порядок системы; m - кол-во входов; k - кол-во выходов (m<n).

О форме "Пространство состояний":

• Это вторая по частоте применений форма записи ДУ в ТАУ.

• Признана стандартом для программ математического моделирования VisSim, Simulink, и т.д., однако в большинстве случаев реализована в SISO-форме (с одним входом и одним выходом). Моделирующие программы для выполнения анализа (символьного или частотного) сводят любую модель пользователя к пространству состояний, заполняя в ходе первых шагов симуляции коэффициенты ABCD-матриц.

• Как правило, используется для построения моделей тех больших не поддающихся модуляризации, но не сложных систем, описание которых оптимально в матричной форме (таких мало). Для записи уравнений используются такие методы как: "Метод контурных токов", "Метод узловых потенциалов", - а так же их эквиваленты для других энергетических доменов (гидравлического, теплового, механического, ...).

• Матричное описание строго формализовано, и не требует понимания физической природы системы. Так же структура модели в "пространстве состояний" не позволяет разобраться во внутренней природе системы. Если эта форма записи ДУ применена обосновано, то модель, скорее всего, будет истинной.