Тема 4: Выравнивание вариационных рядов (построение теоретических распределений)

Задача 77.

В течение рабочей недели производилось наблюдение за работой 65 станков и регистрировались неисправности, требовавшие остановки станков для их регулировки. Результаты наблюдений следующие:

Число неисправностей (х)	0	1	2	3	4	5
Число станков (f)	17	19	13	10	5	1

Требуется: 1) вычислить вероятности и теоретические частоты числа неисправностей, считая, что распределение последних подчиняется закону Пуассона; 2) оценить близость эмпирических и теоретических частот с помощью критериев Пирсона, Романовского и Колмогорова

Решение:

1) а) Рассчитаем среднее число неисправностей:

Число неисправностей (х)	Число станков (f)	xi*fi	xср
0	17	0	1,54
1	19	19
2	13	26
3	10	30
4	5	20
5	1	5
итого	65	100

б) Находим по таблицам значение е^-1.54=0,2144.

в) Подставляя в формулу = значения = 0,1,2,3,4,5 получаем вероятности числа неисправностей от 0 до 5.

При x=0, Px=0,2144

При x=1, Px=1,54^1*0,2144/1= 0,3302

При x=2, Px =1.54^2*0,2144/1*2=0,2542

При x=3, Px =1.54^3*0,2144/1*2*3=0,7830/6=0,1305

При x=4, Px =1.54^4*0,2144/1*2*3*4=1,2058/24=0,0502

При x=5, Px =1.54^5*0,2144/1*2*3*4*5=1,8570/120=0,0155

	(теоретические частоты)= 65
0,2144	14
0,3302	21
0,2542	17
0,1305	8
0,0502	3
0,0155	1

г) Умножив последние на 50 (общее число единиц распределения), получим теоретические частоты числа неисправностей, т.е.

.

Значения и (округленные до целого числа) показаны в приводимой таблице.

2) Для оценки близости эмпирических и теоретических частот воспользуемся критериями Пирсона, Романовского и Колмогорова.

а) Критерий Пирсона: .

х	f	f'	f-f'	(f-f')^2	x^2
0	17	14	3	9	0,67
1	19	21	-2	6	0,28
2	13	17	-4	12	0,75
3	10	8	2	2	0,27
4	5	3	2	3	0,92
5	1	1	0	0	0,00
итого	65				2,90

Фактическое значение χ2факт = 2,90 (приблизительно =3). По приложению в методичке находим критическое (табличное) значение χ2 при ν = 6 − 2 = 4( v= m(число групп) -1 -1(b=1)) и α = 0,05(обычно принимается равным 5%).

Так как , т.е. 2,90 9.49, то имеем все основания считать расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами случайными, а следовательно, не опровергнутой гипотезу о том, что распределение числа неисправностей подчиняется закону Пуассона.

б) Применим критерий Романовского то есть .

Следовательно, расхождения случайны.

в) По критерию Колмогорова получаем: .

Накопленные частоты
Эмпирические(s)	Теоретические(s')
17	14	3
36	35	1
49	52	3
59	60	1
64	64	0
65	65	0

Таким образом, λ=3/√65=3/8,060,4

По таблицам находим, что P(λ0,4) =0,9972 1.

Итак, все три критерия оценивают расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами как случайные, не опровергая тем самым выдвинутую гипотезу о том, что распределение станков по числу неисправностей подчиняется закону Пуассона.