2.3. Математический пакет Maple

Следующий этап выполнения работы – решение задачи средствами математических пакетов.

После освоения приемов работы в математическом пакете Maple (файл «Основы работы в Maple.pdf» ) следует ознакомиться со свойствами дискретного преобразования Фурье (файл «Дискретное преобразование Фурье.pdf») и языком программирования системы Maple (файл «Язык программирования Maple.pdf»). Основные структуры языка: операторы цикла и процедуры – используются в файле «Demo_maple.mws», где приводятся методы спектрального анализа аналоговых и дискретных сигналов.

Пример выполнения части II работы средствами пакета Maple приведен в файле «spectr.mws». Вместо модельного варианта следует подставить свой вариант полинома, тщательно просмотреть все вычисления, разобраться в алгоритмах и операторах их выполняющих, поварьировать параметры, такие как число узлов сетки N для построения тригонометрического полинома, число коэффициентов полинома n.

3. Реализация алгоритмов

3.1. Локализация корня уравнения

Локализация корня может быть выполнена следующими операторами

{----- локализация корня------}

repeat

writeln('Задайте a,b');

readln(a,b);

ya:=f(a);

yb:=f(b);

writeln(a:6:2,b:5:1,ya:12:8,' ',yb);

until ya*yb<0;

Вычисление корня с заданной точностью реализуется методом касательных либо методом Вегстейна.

{==========метод касательных=====================}

x0:=b;

delta:=1;

repeat

x1:=x0-f(x0)/f1(x0);

delta:=abs(x0-x1);

x0:=x1;

writeln (x0);

until delta<epsilon;

Вычисленное значение корня T определяет длительность сигнала.

3.2. Вычисление коэффициентов Фурье.

Вычисление коэффициентов Фурье по формулам Бесселя и их запись во временный файл можно выполнить следующими процедурами:

procedure Bessel(m,Nt:integer;var A,B:fourier);

var

p,q:real;

k,j:integer;

begin

for k:=0 to m do

begin

p:=0;q:=0;

for j:=0 to Nt-1 do

begin

x:=j*h; {h-- шаг дискретизации}

y:=signal(x,T); {T -глобальная переменная}

p:=p+y*cos(k*x);

q:=q+y*sin(k*x);

end;

A[k]:=2*p/Nt;

B[k]:=2*q/Nt;

writeln(k:4,A[k]:8:4,B[k]:12:4);

end;

end;

procedure zapis(m:integer;A,B:fourier);

var

k:integer;

fn:string;

ft:text;

begin

fn:='D:\koeff';

assign(ft,fn);

rewrite(ft);

for k:=0 to m do

writeln(ft,k:6,A[k]:10:4,B[k]:10:4);

close(ft);

end;

3.3. Спектральный анализ сигналов

Ниже приведены команды системы математических вычислений MAPLE с комментариями и минимальными пояснениями используемых алгоритмов.

Команда restart нужна для очистки памяти системы при повторном запуске программы и при начале следующего сеанса. Следующие команды подключают пакеты линейной алгебры и пакеты графики, соответственно. Точка с запятой, завершающая команду, служит признаком отображения результата выполнения команды. Двоеточие подавляет вывод результата (в процедуре --- это последний выполненный оператор).

> restart;

> with(linalg):with(plots):with(plottools):

Полином

Здесь следует задать свой вариант полинома, наименьший положительный корень которого используется как длительность T сигнала значение которого вычисляется командой fsolve (решить уравнение p(x)=0 относительно переменной x в плавающем формате с начальным приближением из отрезка [0;3] ). Если не указать вариант в плавающей форме (команда solve), то система будет пытаться решить уравнение в аналитическом виде. Команда plot строит график на интервале [T-0.5, T+0.5].

> p(x):=x^5-8*x-1;

> Koeff:=fsolve(p(x)=0,x,0..3);

> tau:=Koeff:

> plot(p(x),x=Koeff-0.5..Koeff+0.5,thickness=2,color=black);

Далее строится сигнал длительности Т единичной амплитуды.

> f:=proc(t) local z;

z:=piecewise(t<0,0,t<T,1,0);end:

> plot(f(x),x=-1..2*Pi,color=blue,thickness=2,discont=true);

Коэффициенты ряда Фурье вычисляются в аналитической форме

(если функция F(t) допускает вычисление первообразной) по формулам

В противном случае интегралы вычисляются встроенными алгоритмами численного интегрирования. Интегрирование выполняется по любому отрезку длины периода:

>

> a0:=1/Pi*Int(f(t),t=-Pi..Pi):value(%);

>

> ak:=1/Pi*Int(f(t)*cos(k*t),t=-Pi..Pi):value(%);

> bk:=1/Pi*Int(f(t)*sin(k*t),t=-Pi..Pi):;value(%);

Вычисляем последовательность коэффициентов Фурье для построения спектра амплитуд аналогового сигнала.

> A:=seq(evalf(subs(k=n,ak),5),n=1..N);

> B:=seq(evalf(subs(k=n,bk),5),n=1..N);

> C:=seq(evalf(sqrt(A[n]^2+B[n]^2),3),n=1..N);

Аппроксимация функции конечной суммой ряда Фурье есть тригонометрический полином степени n.

> Trig:=proc(t,n) local z,k;global a0,A,B;

z:=a0/2+sum(A[k]*cos(k*t)+B[k]*sin(k*t),k=1..n);

end;

Процедура Trig вычисляет значения тригонометрического полинома в точке t, что дает возможность построить график полинома степени N.

> plot(Trig(x,10),x=-2*Pi..2*Pi,numpoints=1000);

Меняя число коэффициентов, строим совместный график сигнала и нескольких тригонометрических полиномов.

Совместный график:

> ris1:=plot(Trig(x,20),x=-2*Pi..2*Pi,numpoints=1000):

> ris2:=plot(f(x),x=-Pi..Pi,thickness=3,color=blue):

> display(ris1,ris2);

> col:=[brown,black,green];

> Ris:=seq(plot(Trig(x,3*n),x=-2*Pi..2*Pi,numpoints=100,color=col[n]),n=1..3):

> display(Ris,ris2);

График спектра амплитуд аналогового сигнала

> k:='k';c:=array(0..N);num:=array(0..N);

> c[0]:=evalf(abs(a0),3);

> for k from 1 to N do

c[k]:=evalf(abs(A[k]+I*B[k]),3):

num[k]:=k;

#print(k,num[k],c[k]);

end:;

>

> Risc:=zip((x,y)->[x,y],num,c):

> arr:=array(0..N);

> for i from 0 to N do

arr[i]:=arrow([i,0],[i,c[i]],0.2,0.2,0,color=black);

end:;

> Ar:=convert(arr,list):;

> Rsym:=plot(Risc,style=point,symbol=circle,thickness=2,color=black,title=`спектр амплитуд`):

> display(Ar,Rsym);

Дискретизация задачи

Для построения спектральных характеристик дискретного сигнала в Maple используем результаты расчетов, выполненные на Паскале (временный файл с коэффициентами Фурье).

> fn:=`D:\\koeff`;

> L:=readdata(fn,3):;

> with(linalg):

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> Nkoef:=vectdim(L);

> j:='j';

> for j from 1 to Nkoef do

c[j-1]:=evalf(sqrt(L[j,2]^2+L[j,3]^2),4);

#print(j,c[j-1]);

end:

Строим спектр амплитуд дискретного сигнала и сравниваем графики этих спектров.

> for i from 0 to Nkoef do

arr[i]:=arrow([i,0],[i,c[i]],0.2,0.2,0,color=blue);

end:;

> Ardiskr:=convert(arr,list):;

> Rlin:=plot(Risc,thickness=2,color=brown,title=`сравнение спектров амплитуд`):

> display(Ardiskr,Rlin);

>

Осмысление результатов.

На этом этапе полезно выполнить расчеты для разных значений параметров Nt. (Nt < 100) – число точек дискретизации и -- число коэффициентов тригонометрического полинома. Обратите внимание на эффект Гиббса вблизи точек разрыва аппроксимируемой функции Это на совместном графике аналогового сигнала и тригонометрического полинома.