1.2. Структура отчета

1. Формат А4.

2. Титул

3. Постановка задачи

4. Алгоритмы решения вспомогательных задач

5. Блок-схемы

6. Общая структура программы на языке программирования

7. Результаты расчетов, графики

8. Литература

1.3. Варианты заданий

Таблица 1. Варианты полиномов (номер варианта определяется по последней цифре студенческого билета)

№ варианта	Полином
1	x^5-8*x-1
2	x^5-3*x-3
3	2*x^4-x^3-8
4	x^6-4*x^4-2
5	x^6-4*x^4-3
6	x^6-3*x^3-2
7	x^5-7*x-14
8	x^5-x^3-1
9	x^5-2*x^3-4
10	x^6-3*x^4-5

2. Порядок выполнения контрольной работы.

1. Средствами языка программирования Pascal ABC решается задача вычисления корня T многочлена (индивидуального варианта) методом касательных или методом Вегстейна.

2. Вычисленное значения корня определяет длительность сигнала единичной амплитуды (отрезок [0, T]), вне которого на отрезке [T, 2π] сигнал равен нулю. Рассматривается периодическое продолжение полученной функции с периодом 2π на всю ось. Далее вычисляются коэффициенты Фурье по формулам Бесселя на дискретном множестве равномерно расположенных точек отрезка периодичности. Число точек дискретизации и число коэффициентов выбираются индивидуально. Массивы коэффициентов Фурье записываются во временный файл.

3. С помощью языка программирования системы Maple решается вся задача аналитическими методами. Вычисляется корень полинома T. Далее на периоде вычисляются коэффициенты Фурье для периодического сигнала. Строятся графики сигнала и аппроксимирующих сигнал тригонометрических многочленов нескольких степеней. Затем строится спектр амплитуд аналогового сигнала. Считываются из файла коэффициенты Фурье дискретного сигнала, строятся спектр амплитуд для него и спектры дискретного и аналогового сигналов сравниваются графически.

Первая часть выполнения работы заключается в изучении вспомогательных алгоритмов и их реализации на каком либо языке программирования.

2.1. Вычисление корня уравнения

Для вычисления наименьшего положительного корня полинома (таблица 1) определяем интервал его расположения, вычислив значение полинома на концах отрезка [a, b], задавая числа a и b до получения смены знака полинома. К полученному интервалу применяем метод касательных с начальной точкой в правом конце интервала, либо метод Вегстейна. Описание методов изучаем по учебному пособию «Кондратьев В.П. Вычислительная математика» (файл МПВ.pdf)

2.2. Вычисление коэффициентов Фурье.

Классический тригонометрический полином T_n(t) степени n по базисным функциям 1, sin kt, cos kt, k=1.. n, является периодической функцией с периодом 2, поэтому коэффициенты полинома вычисляем по формулам Бесселя

где k=0..n, N-число точек равномерной сетки на отрезке периодичности [0, 2π], y_j –значения аппроксимируемой функции f(t_j) в узлах сетки t_j=(j-1) 2π / N, j=1,…,N.

В этом случае аппроксимирующий полином имеет вид

Формулы для вычисления коэффициентов Фурье в случае дискретного сигнала эквивалентны применению метода численного интегрирования функции по формулам прямоугольников и трапеций (вследствие периодического продолжения функции на всю ось). Как известно, формула прямоугольников является формулой наивысшей степени точности для тригонометрических полиномов, поэтому применять формулы парабол или формулы Гаусса не имеет смысла.